Stabilität, Stabilisierung, und Robustheit nicht-autonomer unendlich dimensionaler Systeme

• Antragsteller: Professor Dr. Vitalii Slynko
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 492875426

Stabilität und Robustheit sind grundlegende Eigenschaften dynamischer Systeme, die entscheidend für den reibungsfreien und effektiven Betrieb der durch sie modellierten Prozesse sind. Die mathematische Analyse dieser Eigenschaften steht aufgrund der zunehmenden Komplexität der Systeme (Großskaligkeit, Heterogenität, Nichtlinearität, instationäre Störungen) vor wachsenden Problemen. Viele innovative Anwendungsbereiche bedingen aber zwangsläufig derartig komplexe Strukturen: Ihre Modelle sind häufig nichtlinear, besitzen aufgrund von Schalt- oder Impulsaktionen eine hybride Dynamik und führen oft zu gekoppelten Systemen. Die Untersuchung und Steuerung der genannten Gleichungen erfordern eine breite Kombination mathematischer Methoden aus den Bereichen Funktionsanalysis, partielle Differentialgleichungen, Halbgruppen- und Lie-Algebra-Theorie sowie verwandten numerischen Techniken.In diesem Forschungsvorhaben werden wir mehrere Klassen nicht autonomer, unendlich dimensionaler Systeme im Hinblick auf ihre Stabilitätseigenschaften untersuchen. Zu diesem Zweck werden Lyapunov-Methoden mit Hilfe von Lie-Algebra-Techniken entwickelt und explizite Stabilitätsbedingungen sowie Konstruktionsverfahren für Lyapunov-Funktionen hergeleitet. Darüber hinaus werden Feedback-Methoden konzipiert, welche die gewünschten Stabilitäts- und Robustheitseigenschaften für große Klassen von unendlich dimensionalen Systemen garantieren. Eine besondere Rolle spielt dabei das Problem der Stabilisierung abstrakter bilinearer Differentialgleichungen mit impulsiver Wirkung. Basierend auf Lie-Klammer-Methoden konstruieren wir eine geeignete Klasse von Lyapunov-Funktionen und führen damit das ursprüngliche bilineare Stabilisierungsproblem auf die Untersuchung einer abstrakten linearen Vergleichsgleichung mit Lie-Klammern höherer Ordnung zurück. Diese Ergebnisse werden auf bilineare PDE-Systeme vom parabolischen Typ angewandt.Neue Methoden zur Konstruktion von Lyapunov-Funktionen, die auf Lie-Klammer-Techniken für abstrakte Differentialgleichungen in Hilbert-Räumen basieren, werden ausgearbeitet. Die erzielten Ergebnisse werden u.a. auf unendlich diemsionale geschaltete Systeme angewandt. Ferner werden die so konstruierten Lyapunov-Funktionen verwendet, um Robustheitseigenschaften von nichtlinearen, nicht autonomen, abstrakten Differentialgleichungen zu untersuchen und Stabilitätseigenschaften nicht autonomer PDEs sowie gekoppelter ODE-/ PDE-Systeme zu analysieren.Wir werden ein Vergleichsprinzip für im Wesentlichen nichtlineare impulsive Systeme, deren Impulsfolge eine Averaged-Dwell-Time (ADT) Bedingung erfüllt, formulieren und beweisen. Dieses Vergleichsprinzip reduziert das ursprüngliche Problem auf die Stabilitätsuntersuchung eines nichtlinearen Systems mit konstanten Verweilzeiten (Dwell-Times). Die gewonnenen Ergebnisse dienen u.a. der Untersuchung sogenannter kritischer Fälle in der Stabilitätstheorie impulsiver Systeme.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen