Induktive Freiheit von Zieglers kanonischer Multiplizität

• Antragsteller: Professor Dr. Gerhard Röhrle
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 494889912

Die Theorie der Hyperebenarrangements ist seit vielen Jahrzehnten eine treibende Kraft in der Mathematik. Das Gebiet liegt an der Schnittstelle von Algebra, Kombinatorik, algebraischer Geometrie und Topologie. Häufig stellten sich Fragen zu Spiegelungsarrangements, die aus den reflektierenden Hyperebenen einer zugrundeliegenden Spiegelungsgruppe bestehen, zuerst für symmetrische Gruppen, wurden dann auf alle Coxeter-Gruppen ausgedehnt, und umfassten schließlich die gesamte Klasse komplexer Spiegelungsgruppen. Anschließend wurden die fraglichen Eigenschaften innerhalb der breiteren Klasse von Einschränkungen komplexer Spiegelungarrangements weiter untersucht. Ein Paradebeispiel für dieses Phänomen ist die Frage nach der Topologie des Komplements der Vereinigung der Hyperebenen in einem komplexen Spiegelungsarrangement.In seiner bahnbrechenden Arbeit von 1989 zeigte Ziegler, dass die Einschränkung eines freien Hyperebenenarrangements, die mit der natürlichen Multiplizität ausgestattet ist, auf einer beliebigen Hyperebene dann ein freies Multiarrangement liefert. Im Jahr 2018 untersuchten Hoge und der PI die stärkere Freiheits-Eigenschaft der induktiven Freiheit für diese kanonischen freien Multiarrangements und klassifizierten alle Spiegelungsarrangements mit der Eigenschaft, dass die induzierte Ziegler-Multiplizität induktiv frei auf jeder Einschränkung ist.Das Hauptziel dieses Forschungsvorhabens ist es, das genaue Analogon des Satzes von Ziegler im allgemeinen für diese stärkere Eigenschaft der induktiven Freiheit zu beweisen: Wenn A induktiv frei ist, dann ist es auch die Ziegler-Einschränkung von A auf jede Hyperebene von A.Eine weitere relevante Vermutung, die wir zeigen wollen, ist die folgende, bei der wir nicht voraussetzen, dass das zugrundeliegende Hyperebenenarrangement selbst induktiv frei ist: Wenn A und die Deletion A' bezüglich einer Hyperebene H beide frei sind und jedoch die Einschränkung von A auf H induktive frei ist, dann ist es auch die Ziegler-Multiplizität auf der Einschränkung von A auf H.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen