Optimale Steuerung von viskosen Ermüdungsschädigungsmodellen für spröde Materialien: Optimalitätssysteme

• Antragstellerin: Dr. Livia Betz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 495294495

Das Ziel des vorgeschlagenen Projekts ist die Herleitung notwendiger Optimalitätsbedingungen erster Ordnung in Form von Optimalitätssystemen für ein Steuerungsproblem (P), dessen Nebenbedingung ein viskoses Ermüdungsschädigungsmodell ist. Dieses beschreibt die Evolution der Verschiebung und Schädigung (Zustandsvariablen) unter dem Einfluß einer zeitabhängigen Kraft (Steuerung) in einem rein elastischen spröden Material. Das mathematische Modell (Zustandsgleichung) besteht aus einer nicht-linearen Gleichung, die gekoppelt mit einer viskosen evolutionären Variationsungleichung ist. Letztere beinhaltet eine Variable, welche die Materialermüdung erfasst.Das Problem hat ein nicht-lineares und, viel wichtiger, ein nicht-glattes Verhalten. Dementsprechend befassen wir uns mit nicht-glatten Optimierungsproblemen in Funktionenräumen. Somit ist die Anwendung klassischer Methoden für die Herleitung von Optimalitätssystemen nicht ohne Weiteres möglich. Wir betonen, dass wir die nicht-glatte Struktur von (P) via (weniger bekannte) direkte Methoden behandeln wollen im Gegensatz zu der Standardtheorie für nicht-glatte Probleme, die auf Glättungstechniken basiert. Darüber hinaus beinhaltet (P) sowohl Kontrollschranken als auch einen nicht-glatten Term in dem Zielfunktional.Um unser Hauptziel zu erreichen, planen wir ein Hilfsproblem (Q) zu untersuchen. Das unterscheidet sich von (P) nur bezüglich des Zustandssystems, welches diesmal eine passende Approximation der ursprünglichen Zustandsgleichung ist. Diese Approximation kann auf zwei unterschiedliche Weisen vorgenommen werden und ergibt in beiden Fällen ein nicht-glattes PDE System.Die Herleitung von Optimalitätssystemen für (P) soll uns in folgenden Schritten gelingen:1. Die Durchführung einer rigorosen Analyse des viskosen Ermüdungsschädigungsmodells bezüglich Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen. Dies soll uns die Einführung des Steuerungs-Zustands-Operators erlauben.2. Der Nachweis stark stationärer Optimalitätsbedingungen für die Steuerungsaufgabe (Q) und dessen Alternative.3. Die Herleitung von Optimalitätssystemen für das Problem (P). Hier beabsichtigen wir einen Grenzwertübergang in den stark stationären Optimalitätssystemen für (Q) aus Ziel 2 durchzuführen. Dies sollte zwei alternative Optimalitätssysteme liefern, welche eventuell komplementär sind, und könnte uns erlauben ein schärferes Optimalitätssystem für (P) herzuleiten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen