Dynamiken genealogischer Bäume mit Wechselwirkung zwischen Individuen
Final Report Abstract
In dem Projekt wurden Populationsdynamiken mit Interaktion zwischen den Teilfamilien studiert. Die Modellklassen, die im Vordergrund standen, sind: Katalytisches Verzweigen; Verzweigen mit zustandsabhängiger Verzweigungsgeschwindigkeit; Ohta-Kimura Modelle für Resampling mit Zustands- und Typ-abhängiger Resamplingrate; Fleming-Viot-Modelle mit Selektion und Mutation; Räumliche Fleming-Viot-Modelle auf Z1 und Genealogien im Brownian Web. Für diese Modellklassen wurde eine Beschreibung der Genealogien durch (markierte) metrische Maßräume entwickelt und gezeigt, dass die entsprechenden Räume von Zuständen selber wieder polnische Räume sind, wobei diese Zustandsräume durch die Gromov-weak topology topologisiert wurden. Die Evolution der Genealogien wurde durch wohlgestellte Martingalprobleme charakterisiert. Für die Prozessklassen wurde das Langzeitverhalten untersucht und die entsprechenden Gleichgewichte bestimmt. Dieser Zugang erlaubt es, Aussagen über die für die Populationsgenetik und Evolutionsbiologie wichtige Statistiken über Genealogien zu bekommen. Zum Beispiel wurden Laplace-transformierte von Baumlängen berechnet oder die Konvergenzgeschwindigkeit ins Gleichgewicht im Weighted Sampling Modell ermittelt. Das Projekt hat zu einer systematischen Theorie für die Beschreibung der genealogischen Bäume einer Population von Individuen beigetragen, die verschiedenen Dynamiken einer stochastischen Entwicklung unterliegt. Dabei wurde zunächst die nötige Grundlagenarbeit geleistet. Im Vordergrund stand der Fall, bei dem die einzelnen Teilfamilien sich nicht mehr unabhängig entwickeln sondem Wechselwirkungen über Selektion oder totale Massenbeschränkungen unterliegen. Dadurch konnten aber insbesondere einige für die Anwendungen wichtigen Statistiken von Genealogien und deren Verteilung berechnet werden, wie Laplace-transformierte von gesampelten Abständen oder Baumlängen.
Publications
- Multiscale analysis: Fisher-Wright diffusions with rare mutations and selection, logistic branching system. Festschrift for Jürgen Gärtner and Erwin Bolthausen, Springer Verlag
D. Dawson und A. Greven
- Convergence in distribution of random metric measure spaces (The A-coalescent measure tree). PTRF, Vol. 145, Nr. 1, S. 285-322 (2009)
A. Greven, P. Pfaffelhuber und A. Winter
- Genealogy of catalytic branching models. Annals of Applied Probability, Vol 19, Nr. 3, S. 1232-1272 (2009)
A. Greven, L. Popovic und A. Winter
- Dynamics of Genealogical Trees for TVpe- and State-dependent Resampling Models. Dissertation, FAU, 2010
S. Piotrowiak
- Coalescent processes arising in a study of diffusive clustering. EJP 2011
A. Greven, V. Limic und A. Winter
- Marked metric measure spaces. ECP 2011
A. Depperschmidt, A. Greven und P. Pfaffelhuber
- Tree-valued Fleming-Viot dynamics with selection. Aimals of Applied Probability 2011
A. Depperschmidt, A. Greven und P. Pfaffelhuber
- Tree-valued resampling dynamics: Martingale problems and applications. PTRF, 2011
A. Greven, P. Pfaffelhuber und A. Winter
