SolidMaps: Verlässliche Berechnung solider 3D-Abbildungen

• Antragsteller: Professor Dr. Marcel Campen
• Fachliche Zuordnung: Bild- und Sprachverarbeitung, Computergraphik und Visualisierung, Human Computer Interaction, Ubiquitous und Wearable Computing
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 497335132

Digital repräsentierte Abbildungen (im mathematischen Sinne des Wortes) zwischen 3D Objekten sind ein Grundbaustein einer ganzen Palette informatischer Anwendungen, für Ingenieursaufgaben von Entwurf über Simulation bis Fabrikation; für algorithmische Analyseaufgaben, z.B. im Bereich der medizinischen Bildgebung oder im Bereich Computer Vision; für Animation und für Visualisierung. Von besonderer Relevanz sind kontinuierliche Bijektionen, Homöomorphismen, die eine 1-zu-1-Korrespondenz (geometrischer oder auch semantischer Natur) zwischen den Punkten zweier Objekte beschreiben.Solche Abbildungen sind von wesentlichem Nutzen für algorithmische Aufgaben im Umfeld der Verarbeitung und Analyse korrelierter räumlicher geometrischer Daten, sie ermöglichen den Transfer von Informationen zwischen Instanzen einer Objektklasse und die Übertragung und Wiederverwendung von Berechnungsergebnissen. Abbildungen von Objekten auf abstrakte Domänen werden zudem vielseitig als Hilfsmittel und Werkzeug genutzt, um Objekte mit lokalen Koordinatensystemen auszustatten (im Rahmen der Parametrisierung) oder um hochqualitative strukturierte Netz- oder Gitterdiskretisierungen für gegebene räumliche Objekte zu erzeugen.Algorithmische Kernaspekte in diesem Kontext sind die Repräsentation, die Konstruktion und die Optimierung solcher Abbildungen. Für den einfacheren analogen 2D Fall sind diese lang erforscht und effiziente verlässliche Algorithmen für diese Zwecke sind bekannt. Verschiedene Ansätze zur Repräsentation und zur Optimierung sind erfolgreich auf dem 3D Fall verallgemeinert worden. Hinsichtlich des Aspekts der anfänglichen verlässlichen Konstruktion räumlicher 3D Abbildungen (etwa als korrekte Initialisierung für nachfolgende Abbildungsoptimierungsmethoden) muss jedoch eine signifikante Lücke im Stand der Wissenschaft konstatiert werden.Ziel dieses Projektes ist es, diese Lücke zu schließen. Es zielt ab auf eine algorithmische Methode, die in der Lage ist, bijektive kontinuierliche Abbildungen zwischen räumlichen 3D Objekten in allgemeiner und verlässlicher Weise zu erzeugen. Auf Basis neuerer Fortschritte, die sich jedoch auf Spezialfälle beschränken, werden die folgenden Zielsetzungen addressiert. (1) Unterstützung für eine große, flexible Klasse von Abbildungsdomänen, statt auf Primitive wie Kugeln oder Würfel beschränkt zu sein. (2) Unterstützung für Objekte beliebiger Topologie, ob einfach-zusammenhängend oder von höherem Genus. (3) Unterstützung für die Vorschrift allgemeiner Randbedingungen in Form von Korrespondenzvorgaben für eine Teilmenge von Punkten, die die gesuchte Abbildung zu respektieren hat. (4) Praktische Anwendbarkeit: durch Kombination eines Spektrums mehrerer Alternativansätze in einer adaptiven Eskalationsstrategie wird eine insgesamt effiziente Methode geformt, die theoretisch solide und verlässlich, gleichzeitig aber auch geeignet und hinsichtlich des mittleren Aufwands rechtfertigbar für den Praxiseinsatz ist.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen