Adaptive Methoden mit optimaler Verfahrenskomplexität für partielle Differentialgleichungen mit unendlich vielen Parametern

• Antragsteller: Professor Dr. Markus Bachmayr
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 501389786

Thema dieses Projektes sind die Konstruktion, Analyse und Implementierung adaptiver stochastischer Galerkin Finite-Elemente-Methoden, mit besonderem Augenmerk auf einem rigorosen Verständnis von Konvergenz- und Komplexitätseigenschaften. Dabei handelt es sich um Lösungsverfahren für elliptische partielle Differentialgleichungen, die von abzählbar unendlich vielen Parametern abhängen, wie sie insbesondere im Kontext der Uncertainty Quantification auftreten. Die bisher erzielten Ergebnisse des Projektes zeigen die Bedeutung einer Kombination geeigneter Mehrskalenentwicklungen von Zufallsfeldern mit flexibler koeffizientenweiser Gitteradaption für Näherungslösungen. Ein erstes Ziel für die Fortsetzung des Projektes ist die Verallgemeinerung auf weitere Problemklassen, insbesondere Probleme auf zufälligen Gebieten und vektorwertige elliptische Probleme. Desweiteren betrachten wir die Übertragung der bisherigen Verfahren, die auf Normkonvergenz abzielen, auf zielorientierte Adaptivität, wobei hier auch funktionenwertige Zielgrößen wie Erwartungswerte von Lösungen von Interesse sind. Schließlich untersuchen wir neue adaptive Verfahren der stochastischen Kollokation, wobei Näherungen der parameterabhängigen Lösungen aus solchen für bestimmte Parameterwerte erzeugt werden. In diesem Kontext ist ebenfalls die Ausnutzung von Mehrskalenstrukturen in Entwicklungen von Zufallsfeldern von zentralem Interesse.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen