Reelle algebraische Geometrie, Konvexität und Topologie

• Antragsteller: Professor Dr. Mario Kummer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 502861109

Dieses Projekt soll die reelle algebraische Geometrie an zwei verschiedenen Fronten voranbringen: Algebraische Darstellungen von reellen Polynomen oder semi-algebraischen Mengen; und Topologie und Geometrie von reellen algebraischen Varietäten.Beide Bereiche haben ihre eigenen Methoden und Fortschritt an einer Front wird sich auf die andere auswirken. Abgesehen von Methoden, die spezifisch für die reellen Zahlen sind, werden wir das Potenzial der modernen algebraischen Geometrie in großem Umfang nutzen.Die Suche nach bestimmten algebraischen Darstellungen von reellen algebraischen oder geometrischen Objekten ist aus Sicht der Komplexitäts- oder Optimierungstheorie von besonderem Interesse. Dazu gehört, ein Polynom so auszudrücken, dass es sich leicht auswerten oder minimieren lässt, etwa als Determinante oder Summe von Quadraten, oder eine Menge so darzustellen, dass sie für Optimierungsverfahren wie die semidefinite Programmierung (SDP) anwendbar ist. Grundlegende offene Fragen sind die verallgemeinerte Lax-Vermutung und die Frage, ob die hyperbolische Programmierung allgemeiner ist als die SDP. Das Studium der Topologie reeller algebraischer Varietäten geht auf das 19. Jahrhundert zurück. Seitdem wurden große Fortschritte bei ebenen und in jüngerer Zeit auch bei räumlichen Kurven sowie bei Flächen im dreidimensionalen Raum erzielt. Für Varietäten in oder von höherer Dimension ist viel weniger bekannt, und wir planen, mehr Licht in diese Angelegenheit zu bringen, indem wir Varietäten mit extremen geometrischen Eigenschaften untersuchen. Die Theorie der Ulrichgarben spielt in diesem Projekt eine wichtige Rolle. Ulrichgarben auf einer reellen algebraischen Varietät haben, wenn sie mit einer zusätzlichen reellen Struktur ausgestattet sind, einen Einfluss auf die Topologie sowie auf algebraische Darstellungen der definierenden Polynome dieser Varietät.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen