Höhere homologische Methoden in Karoubi-Kategorien

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Sven-Ake Wegner
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 507660524

Die Homologische Algebra hat eine kurze aber beeindruckende Geschichte. Seit ihren Anfängen in den 1960er Jahren helfen homologische Methoden heute in vielen Bereichen der Mathematik dabei die gemeinsame Natur ähnlicher Phänomene in verschiedenen Kontexten zu erkennen. Moderne Zugänge starten häufig mit einer abelschen Kategorie und führen dann deren derivierte Kategorie ein. Techniken wie die Ableitung von Funktoren und klassische homologische Invarianten können auf dieser Basis in großer Allgemeinheit behandelt werden. Derivierte Äquivalenz, d.h. die Äquivalenz der derivierten Kategorien, kann darüber hinaus als eine höhere Invariante interpretiert werden. Ein sehr leistungsfähiges Instrument zum Ermitteln derivierter Äquivalenzen zwischen abelschen Kategorien ist die Kipptheorie. Diese wurde in den 1980er Jahren im Kontext der Darstellungstheorie endlichdimensionaler Algebren erfunden, dann aber sehr schnell als allgemeines Werkzeug in der homologischen Algebra erkannt.Die Motivation für dieses Projekt entstammt der Funktionalanalysis. Hier fanden homologische Methoden in Form von abgeleiteten Funktoren seit den 1970er Jahren Einzug. Derivierte Kategorien wurden um das Jahr 2000 das erste Mal untersucht, seitdem aber nur vereinzelt verwendet. Der wesentliche Grund hierfür ist, dass die in der Funktionalanalysis auftretenden Kategorien nur in Ausnahmefällen abelsch sind und eine umfassende Theorie bisher nur für sogenannte quasi-abelsche Kategorien vorhanden ist. Letztere decken z.B. Banachräume, Frécheträume oder bornologische Räume ab. Um weitere klassische Objekte der Funktionalanalysis (reell-analytische Funktionen, Distributionen, Testfunktionen aber auch bornologische Moduln) zu behandeln, erfordert es eine allgemeinere Kategorientheorie.In diesem Projekt liegt der Fokus auf der Klasse der sogenannten Karoubi-Kategorien. Für diese ist bekannt, dass die derivierte Kategorie wohldefiniert ist und bisherige Untersuchungen deuten darauf hin, dass viele funktionalanalytische Szenarien zu Kategorien dieses Typs führen. Unser erstes Ziel besteht darin, die Struktur der derivierten Kategorie einer Karoubi-Kategorie zu verstehen und sie so für Berechungen zugänglich zu machen. Als zweites werden wir Methoden zur Konstruktion derivierter Äquivalenzen entwickeln und durch die Kategorifizierung funktionalanalytischer Probleme illustrieren wie diese zur Anwendung kommen. Unser dritter Schwerpunkt ist die Entwicklung einer Kipptheorie für Kategorien von bornologischen Moduln. Letztere Kategorien sind in der Tat quasiabelsch, aber da es natürlicher ist sie mit einer nicht-maximalen Exaktheitsstruktur auszustatten, passen sie besser in die von uns vorgeschlagene karoubische Theorie. In diesem Teil des Projekts zielen wir erst darauf ab ein Analogon des klassischen Brenner-Butler Theorems zu beweisen. Als zweites werden wir untersuchen, wie derivierte Äquivalenzen durch Kippmoduln realisiert werden können.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen