Multifraktale Analyse für g-Maße und singuläre Potentiale

• Antragsteller: Dr. Philipp Gohlke
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 509427705

Mit diesem Projekt wollen wir das Verständnis und die Anwendbarkeit einer mathematischen Methode erweitern, die als multifraktale Analyse bezeichnet wird. Die multifraktale Analyse dient dazu, irreguläre und fraktal-ähnliche Objekte quantitativ zu erfassen. Ihr Anwendungsgebiet umfasst zahlreiche Modelle, Datensätze und physikalische Beispiele in verschiedensten Disziplinen wie Geophysik, Medizin oder Biologie. In der Mathematik spielt die multifraktale Anablyse eine wichtige Rolle bei der Untersuchung chaotischer dynamischer Systeme. Da es in diesem Kontext häufig unpraktikabel ist, das Verhalten aller Trajektorien einzeln zu erfassen, wird stattdessen auf die Untersuchung von ``typischem'' Verhalten zurückgegriffen. Der Begriff ``typisch'' kann sich dabei auf eine zugrundeliegende topologische oder wahrscheinlichkeits-theoretische Struktur beziehen. Die multifraktale Analyse ermöglicht ein vollständigeres Bild, welches das Auftreten von untypischem Verhalten aufzeigt und quantifiziert.Obwohl sich die multifraktale Analyse üblicherweise auf äußerst irreguläre Objekte bezieht, sind viele dieser Objekte durch ein iteratives Verfahren aus einer vergleichsweise glatten Funktion (genannt Potential) konstruierbar. Für hinreichend reguläre Potentiale ist bekannt, wie die multifraktale Analyse umsetzbar ist und welche Eigenschaften zu erwarten sind. Erweiterungen für weniger reguläre Potentiale sind ein aktives Forschungsgebiet. Eine besonders augenscheinliche Verletzung der üblichen Regularitäts-Bedingungen ist die Einführung einer Singularität, das heißt, eines Punktes an dem die Potential-Funktion gegen unendlich divergiert.Tatsächlich gibt es natürliche Klassen von Objekten (z.B. in der Theorie aperiodischer Ordnung) welche ein singuläres Potential erfordern. An einzelnen solchen Beispielen wurde die multifraktale Analyse bereits erprobt. Dieses Projekt verfolgt drei primäre Ziele. Zunächst geht es darum anhand einzelner Beispiele genauer zu verstehen, welche neuen multifraktalen Phänomene im Zusammenhang mit singulären Potentialen auftauchen. Auf einer etwas systematischeren Ebene werden wir versuchen verschiedene Arten von Singularitäten nach ihrem Effekt auf die multifraktalen Eigenschaften zu klassifizieren. Abschließend werden wir mit dem neu gewonnenen Verständnis den multifraktalen Formalismus auf weitere Beispiel-Klassen ausweiten, welche für die Zahlentheorie und die Theorie aperiodischer Ordnung von Bedeutung sind.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Schweden
• Gastgeber: Professor Dr. Jörg Schmeling