Geometrie von Flächenbündeln

• Applicant: Professor Dieter Kotschick, Ph.D.
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 1999 to 2009
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5211112

• Final Report Year: 2009

Final Report Abstract

In diesem Projekt ging es um das Wechselspiel zwischen algebraischen, geometrischen und topologischen Methoden bei der Untersuchung von Flächenbündeln, Abbildungsklassen-Gruppen und Diffeomorphismen-Gruppen von Flächen. Mit Methoden aus der symplektischen Geometrie und der Seiberg-Witten Eichtheorie haben wir interessante untere Schranken an die Kommutator-Längen von speziellen Elementen der Abbildungsklassen-Gruppen von Flächen bewiesen. Diese Schranken haben schon zu weiteren Ergebnissen über Abbildungsklassen-Gruppen geführt, und sie sind der Anlass für neue Entwicklungen in der geometrischen Gruppentheorie gewesen. Auf vielen Flächenbündeln über Flächen haben wir horizontale Blätterungen komplementär zu den Fasern konstruiert. Dies zeigt, dass gewisse natürliche Kohomologieklassen die von den Abbildungsklassen-Gruppen kommen auch auf den Diffeomorphismen-Gruppen von Flächen nicht-trivial sind. Dies bleibt sogar richtig wenn man von der vollen Diffeomorphismen-Gruppe auf die Gruppe der Symplektomorphismen bezüglich einer beliebigen symplektischen Form einschränkt. Für Symplektomorphismen-Gruppen haben wir auch eine ganze Reihe von neuen Kohomologie-Klassen definiert, und bewiesen, dass sie ebenfalls nicht-trivial sind. Diese Arbeiten haben wichtige Bezüge zur symplektischen Geometrie, und sie haben das Studium der Symplektomorphismen-Gruppen als diskrete Gruppen wesentlich vorangebracht.

Publications

• Bounded cohomology and non-uniform perfection of mapping class groups. Invent. math. 144 (2001), 169-175
  H. Endo und D. Kotschick
  
• Derived secondary classes for flags of foliations. Dissertation, LMU München 2001
  M. Hoster
  
• Commutators, Lefschetz fibrations and the signatures of surface bundles. Topology 41 (2002), 961-977
  H. Endo, M. Korkmaz, D. Kotschick, B. Ozbagci und A. Stipsicz
  
• Clustering of critical points in Lefschetz fibrations and the symplectic Szpiro inequality, Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), 3217-3226
  V. Braungardt und D. Kotschick
  
• Einstein metrics and the number of smooth structures on a four-manifold, Topology 44 (2005), 641-659
  V. Braungardt und D. Kotschick
  
• Failure of separation by quasi-homomorphisms in mapping class groups, Proc. Amer. Math. Soc. 135 (2007), 2747-2750
  H. Endo und D. Kotschick
  
• The topology of symplectic circle bundles, Trans. Amer. Math. Soc.
  J. Bowden