Automorphisms of integral group rings and Hecke algebras, automorphisms of groups

• Applicant: Professor Dr. Wolfgang Kimmerle
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2000 to 2005
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5223686

Die 60 Jahre alte Frage, ob eine endliche Gruppe durch ihren ganzzahligen Gruppenring bis auf Isomorphie bestimmt ist (das "Isomorphieproblem"), wurde 1998 von M. Hertweck negativ beantwortet. Hieraus resultieren Fragen, die von grundlegendem Interesse für das gesamte Gebiet der ganzzahligen Darstellungstheorie von Gruppen sind und denen in diesem Projekt nachgegangen werden soll. Ziel ist einerseits die Entwicklung einer Obstruktionstheorie der Gegenbeispiele. Die Obstruktionsgruppe sollte in der ganzzahligen Darstellungstheorie eine vergleichbar herausragende Rolle spielen wie etwa die Klassengruppe bzw. die Picardgruppe in der algebraischen Zahlentheorie. Zum anderen sollen bestimmte Klassen von Gruppen (insbesondere Gruppen ungerader Ordnung, komplexe Spiegelungsgruppen, endliche reduktive Gruppen) systematisch auf das Isomorphieproblem und verwandte Vermutungen untersucht werden. Ein Teil dieser Fragen sind zugleich von Relevanz für zyklotomische Heckealgebren oder q-Schuralgebren und sollten zu generischen Resultaten führen. Für beide Vorhaben ist die Automorphismengruppe ganzzahliger Gruppenringe von zentraler Bedeutung. Deren Struktur soll sowohl gruppentheoretisch mit Hilfe lokal trivialer Automorphismen als auch darstellungstheoretisch mit Blocktheorie analysiert werden.

• DFG Programme: Research Grants
• Participating Person: Professor Dr. Richard Dipper