Positivitäts- und Monotoniemethoden in der Theorie unendlich-dimensionaler Systeme

• Antragstellerin: Sahiba Arora
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 523942526

Ein dynamisches System ist ein mathematisches Modell, das die zeitliche Entwicklung einer oder mehrerer (oder unendlich vieler) Größen beschreibt. Oft ist es sinnvoll, ein solches System als eine Blackbox zu betrachten, die nur begrenzt von außen (über sogenannte Inputs) beeinflusst bzw. (über sogenannte Outputs) gemessen werden kann. Die mathematische Systemtheorie befasst sich mit dem Eingangs-Ausgangs-Verhalten dynamischer Systeme, und ermöglicht es das Verhalten des Systems durch die richtige Wahl des Eingangs zu steuern. Seit ihren Anfängen in den 1940er Jahren hat die Systemtheorie - sowohl in endlichen als auch in unendlichen Dimensionen - eine enorme mathematische Entwicklung erfahren, die beispielsweise in den Bereichen Technik, Informatik und mathematische Biologie Anwendung findet. Im mathematischen Bereich der Funktionalanalysis, z.B. im Gebiet der Operatorhalbgruppen, hatte das Konzept Positivität einen bedeutenden Einfluss und führte zu zahlreichen Anwendungen. Gleichzeitig ist die Positivität eine intrinsische Eigenschaft verschiedener realer Systeme. So haben beispielsweise Systeme, welche die Dynamik von Populationen, die Konzentration einer Substanz oder eine Wahrscheinlichkeit modellieren, eine positivitätserhaltende Eigenschaft. Im Wesentlichen, bedeutet dies, dass eine positive Eingabe zu einer positiven Ausgabe führt. Dies legt nahe, dass eine Analyse positiver Systeme ein lohnendes Unterfangen ist. Obwohl die Systemtheorie ein etabliertes Teilgebiet der Mathematik ist, hat sich die Untersuchung positiver Systeme bisher hauptsächlich auf endliche Dimensionen konzentriert. Dieses Projekt zielt darauf ab, eine umfassende Untersuchung unendlich-dimensionaler positiver Systeme einzuleiten und die Theorie auf eine Reihe konkreter Beispiele anzuwenden. Zusätzlich zu systemtheoretischen Methoden werden wir verschiedene Werkzeuge aus der Funktionalanalysis - insbesondere Operatorhalbgruppen und die Theorie der Banachverbände - einsetzen, um verschiedene Aspekte positiver Systeme zu untersuchen. Die drei Hauptkonzepte, auf die wir uns konzentrieren sind Zulässigkeit, Eingangs-Zustands-Stabilität und Spektraltheorie.

• DFG-Verfahren: WBP Stelle