Bayes'sche asymptotische Theorie für Daten auf Mannigfaltigkeiten und Bayes'sche Smeariness von Lagemaßen

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Benjamin Eltzner
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 524285496

In der statistischen Analyse auf nicht-Euklidischen Daten- und Parameterräumen wurde vor wenigen Jahren entdeckt, dass der klassische zentrale Grenzwertsatz nicht allgemein für Fréchet-Mittelwerte gilt. Dies führte zu einer verallgemeinerten asymptotischen Theorie, die auch niedrigere Konvergenzraten, sogenannte Smeariness, umfasst. Dieses Projekt zielt darauf ab, Smeariness und das verwandte Konzept der „finite sample Smeariness“ im Rahmen der Bayes‘schen Inferenz zu untersuchen, was bisher nicht versucht wurde. Es ergeben sich dabei zwei Problemfelder. Erstens hat die Wahl der a-priori-Verteilung einen signifikanten Einfluss auf das Ergebnis der Inferenz bei endlicher Stichprobengröße und damit auf finite sample Smeariness. Dies wird im Antrag an einem Modellsystem illustriert. Zweitens sind alle bekannten Verteilungen, die Smeariness aufweisen, multimodal, während der Fréchet-Mittelwert am natürlichsten als Zentrum einer einzelnen symmetrischen Mode modelliert wird. Analog dazu ist im Modellsystem für Bayes‘sche Inferenz die Datenverteilung bimodal, während die Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, deren Likelihood für die Inferenz verwendet wird, unimodal ist, was als Modellierungsfehler zu betrachten ist. Für die Bayes‘sche Inferenz heißt das, dass das Bernstein-von-Mises-Theorem (BvMT) nicht anwendbar ist und die Varianz der a-posteriori-Verteilung nicht der Varianz des a-posteriori-Mittelwertes entspricht. Dieses Projekt zielt darauf ab, mit solchen Modellierungsfehlern produktiv umzugehen. Als theoretisches Fundament beabsichtigen wir eine Verallgemeinerung des BvMTs mittels Konzepten wie der „Bayesian learning rate“, siehe Grünwald und van Ommen (2017). Darauf basierend wird eine verallgemeinerte Bayes‘sche Inferenz entwickelt, die es auch im Fall von Smeariness erlaubt von der Varianz der a-posteriori-Verteilung auf die Varianz des a-posteriori-Mittelwertes zu schließen. Des Weiteren wird der Einfluss der a-priori-Verteilung bei endlicher Stichprobengröße auf des Phänomen der finite sample Smeariness systematisch charakterisiert. Da Smeariness die Schätzung von Varianzen der Schätzer und die asymptotische Approximation von Quantilen für Hypothesentests stört, ist es wünschenswert einen Lageparameter zur Verfügung zu haben, der allgemein anwendbar und nicht smeary ist und dessen Interpretation der des Fréchet-Mittelwertes ähnlich ist. Dazu verallgemeinern wir die kürzlich beschriebenen Diffusions-Mittelwerte auf Bayes‘sche Inferenz und beabsichtigen analog zum frequentistischen Fall zu zeigen, dass diese bei simultaner Varianzschätzung nicht smeary sind. Nichtparametrische Bayes‘sche Inferenz ist zwar in der Vergangenheit erfolgreich eingesetzt worden um Modellierungsfehler zu vermeiden. Allerdings betrachtet dieser Ansatz das Schätzproblem aus einer sehr viel allgemeineren Perspektive als die einfache Untersuchung von Lageparameters, die dieses Projekt anstrebt.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Mitverantwortlich: Professor Dr. Stephan Huckemann