Tautologische motive von Shimura Varietäten und Stratifikationen von derivierten F-zips
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das Ziel dieses Projekts ist es, zahlentheoretische Probleme mit Hilfe der Geometrie zu verstehen. Die Idee besteht darin, den Nullstellen von Polynomen eine geometrische Struktur zuzuordnen und geometrische Eigenschaften mit denen der Polynome in Verbindung zu bringen. Um die Geometrie zu verstehen, ist es wichtig, dem Objekt Zahlen zuzuordnen, die wir als Invarianten bezeichnen. Eine für uns wichtige Invariante ist die sogenannte Kohomologie. In diesem Projekt interessiert uns vor allem der Fall positiver Charakteristik, d.h. wir setzen eine feste Primzahl gleich Null. Dies lässt sich anhand einer Uhr veranschaulichen, bei der zwar keine Primzahl, aber die Zahl 12 mit Null identifiziert wird. Unter diesen Annahmen erhalten wir zusätzliche Strukturen auf der Kohomologie, die wir geometrisch analysieren können. Ein Aspekt des Projekts war es, die Beziehung zwischen der Geometrie dieser Strukturen und der Zahlentheorie zu stärken und somit die bereits vorhandene Theorie zu erweitern. In dem Projekt haben wir die Grundlagen für eine solche Erweiterung geschaffen. Im Hinblick auf die Beziehung zwischen Geometrie und Zahlentheorie haben Wedhorn-Ziegler die Geometrie und Kohomologie eines Raums der G-Zips untersucht, was auf die Arbeiten von Wedhorn-Pink-Ziegler und Moonen-Wedhorn zurückgeht. Wir haben diesen Raum der G-Zips und dessen Kohomologie aus einem konzeptionell allgemeineren Standpunkt heraus untersucht. Dadurch lassen sich die komplizierten Berechnungen von Wedhorn-Ziegler auf teilweise allgemeinere Phänomene zurückführen. Der Vorteil dieser Sichtweise besteht darin, dass sich die Methodiken auf andere Aspekte der Mathematik verallgemeinern lassen, zum Beispiel auf das Studium von Symmetrien. Außerdem ermöglicht uns unsere Herangehensweise einen ersten Schritt, den Fall positiver Charakteristik zu verlassen. Motiviert dadurch haben wir dann die Theorie der Kohomologie und deren Beziehungen ebenfalls für unsere Zwecke verallgemeinert. In einem aktuellen Projekt nutzen wir dies, um unsere verallgemeinerten Berechnungen der Kohomologie des Raums der G-Zips auf den Fall nichtpositiver Charakteristik zu übertragen. Die Übertragung unserer Berechnungen vom Fall positiver Charakteristik in zahlentheoretische Aussagen ist ein schwieriges Unterfangen. Dieses Problem beschäftigt Mathematiker schon seit langer Zeit und kann teilweise als Motivation für Peter Scholzes Dissertation gesehen werden, für die er 2018 die Fields-Medaille erhalten hat, einen der größten Preise in der Mathematik. Um mit solchen Problemen umgehen zu können, kann man mit sogenannten rigiden Räumen arbeiten. Diese lassen sich folgendermaßen vorstellen: In der klassischen Geometrie arbeitet man mit den reellen Zahlen, bei denen die Zahlen 1, 2, 3 . . . unbeschränkt sind, d.h. der Abstand der Zahlen zu 0 wird immer größer. In der rigiden Geometrie gilt dies jedoch nicht; der Abstand der Zahlen 1, 2, 3 . . . ist beschränkt. Obwohl dies unserer durch die reale Welt geprägten Intuition widerspricht, ermöglicht uns eine solche Geometrie, zahlentheoretische Probleme zu bearbeiten. In Anlehnung an die aktuelle Forschung habe ich gemeinsam mit Christian Dahlhausen begonnen, Kohomologien für solche Räume zu untersuchen. Dies ist keineswegs eine neue Idee, jedoch hat die klassische Theorie ihre Einschränkungen, die wir versuchen zu überwinden. Eines der Probleme besteht darin, dass es schwierig ist, die Beziehung zwischen der klassischen Geometrie und der Geometrie in positiver Charakteristik, die wir erforscht haben, zu verstehen. In meinem Projekt mit Christian Dahlhausen hoffen wir, dieses Problem langfristig zu lösen oder zumindest zu erleichtern.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Motivic homotopy theory of the classifying stack of finite groups of lie type, 2024.
Yaylali, Can
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Rational motives on pro-algebraic stacks, 2024.
Yaylali, Can
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Towards A1 -homotopy theory of rigid analytic spaces, 2024.
Dahlhausen, Christian & Yaylali, Can
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T-equivariant motives of flag varieties. Algebraic & Geometric Topology, 25(4), 2343-2367.
Yaylali, Can
