Vermutung von Dade für endliche reduktive Gruppen

• Antragsteller: Dr. Damiano Rossi
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 525464727

Der Einfluss von Symmetrien auf unsere Wahrnehmung der Welt ist allgegenwärtig in unserem täglichen Leben: vom Erkennen menschlicher Emotionen mithilfe der Mimik bis hin zur Wertschätzung von Kunst und Architektur. Unser Gehirn verarbeitet die Natur durch Symmetrien. Mathematiker haben mit der Gruppentheorie einen rigorosen und eleganten Rahmen entwickelt, um das Konzept der Symmetrie besser zu verstehen. Neben ihrer Bedeutung für die reine Mathematik findet die Gruppentheorie Anwendung in den Bereichen der Physik, Genetik, Chemie, Materialwissenschaften, Kristallographie und Kryptographie. Leider sind Gruppen von Natur aus kompliziert und es ist daher äußerst schwierig, ihre Eigenschaften zu beschreiben. Um diese Schwierigkeit zu umgehen, ist es üblich, Gruppen durch Repräsentationen zu untersuchen, die aus ihren Aktionen auf bestimmte geometrische Räume hervorgehen. Deshalb ist es essenziell die Gruppenrepräsentationstheorie gründlich zu verstehen. Derzeit besteht die größte Herausforderung in diesem Forschungsbereich darin, das Lokal-Global-Prinzip zu erklären. Um diese Idee zu veranschaulichen erinnere man sich daran, dass natürliche Zahlen in Produkte von Primzahlen zerlegt werden können. Auf ähnliche Weise können endliche Gruppen in lokale Strukturen zerlegt werden, die Primzahlen zugeordnet sind. Nach dem Lokal-Global-Prinzip wird die Darstellungstheorie einer gegebenen endlichen Gruppe stark von der Darstellungstheorie solcher lokaler Strukturen bestimmt. Die Vermutung von Dade liegt im Kern dieses Problems und liefert grundlegende Beweise für das Lokal-Global-Prinzip, indem sie eine präzise Formel für die Bestimmung der Anzahl bestimmter Arten von Darstellungen in Form von Invarianten vorschlägt, welche mit diesen lokalen Strukturen verbunden sind. Das Ziel dieses Projekts ist es, mithilfe algebro-geometrischer Techniken und der Weiterentwicklung der Deligne-Lusztig-Theorie einen neuen Ansatz für die Erforschung der Dade-Vermutung zu entwickeln. Diese Ideen werden angewandt, um eine geometrische Interpretation der Dade-Vermutung für die wichtige Familie der endlichen reduktiven Gruppen festzulegen. Das Forschungsprojekt ist Teil eines langfristigen Plans zum Beweis der Vermutung von Dade und wird uns dem Verständnis des Lokal-Global-Prinzips näherbringen.

• DFG-Verfahren: WBP Stelle