Inhomogene und kompressible Fluide: statistische Lösungen und dissipative Anomalien

• Antragsteller: Professor Dr. Emil Wiedemann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 525716336

Dieser Projektantrag nimmt mehrere physikalisch motivierte Probleme aus der Analysis von Strömungsgleichungen in Angriff. Das Projekt, das in den Bereich der Grundlagenforschung fällt, hat die Erweiterung unseres rigorosen analytischen Verständnisses in zwei Forschungsrichtungen zum Ziel: - von homogenen inkompressiblen Fluiden zu inhomogenen und kompressiblen Fluiden - von klassischen schwachen Lösungsbegriffen zu verallgemeinerten schwachen Lösungsbegriffen. In den vergangenen zehn Jahren sind wesentliche Fortschritte in mehreren Fragen erzielt worden, die sich aus der Turbulenztheorie von Kolmogoroff-Onsager ergeben und die lange Zeit offengeblieben waren. Besonders bemerkenswert ist der Beweis der Existenz nichtkonservativer Lösungen der Eulergleichungen mit Regularität unterhalb 1/3 mittels konvexer Integration; hierbei wird Energie durch die Herausbildung kleiner räumlicher Skalen dissipiert. Die Transportstruktur der Vortizitätsgleichung in zwei Raumdimensionen und der Mechanismus der inversen Energiekaskade können ausgenutzt werden, um Energieerhaltung und weitere Eigenschaften sogar in manchen Onsager-superkritischen Situationen zu zeigen. Aufgrund verbesserter numerischer Simulationen und des Mangels eines Auswahlkriteriums für Entropielösungen in vielen hyperbolischen Systemen haben sich zahlreiche Anstrengungen zuletzt auf verallgemeinerte Lösungsbegriffe wie maßwertige und statistische Lösungen konzentriert, sowohl aus analytischer als auch aus numerischer Perspektive. Trotz dieser bemerkenswerten jüngsten Fortschritte bleibt der Großteil dieser Theorie der Betrachtung homogener inkompressibler Fluide und klassischer schwacher Lösungen verhaftet. In diesem Projekt werden wir den Stand der Dinge maßgeblich erweitern, indem wir insbesondere die folgenden Themenfelder erschließen: - Energieerhaltung und weitere Eigenschaften von Onsager-superkritischen statistischen Lösungen für homogene inkompressible Flüssigkeiten, die als Viskositätslimites oder aus numerischen Verfahren (zum Beispiel Large-Eddy-Simulationen, LES) gewonnen werden - Statistische Lösungen für inhomogene und kompressible Fluide: Grundlagen - Energieerhaltung und weitere Eigenschaften für Onsager-superkritische schwache Lösungen für inhomogene inkompressible Fluide - Erhaltungsanomalien in statistischen Lösungen und für inhomogene inkompressible Fluide - Energieerhaltung bzw. -dissipation für inhomogene kompressible Fluide.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2410: Hyperbolische Erhaltungssätze in der Fluidmechanik: Komplexität, Skalen, Rauschen (CoScaRa)
• Internationaler Bezug: Schweiz
• Partnerorganisation: Schweizerischer Nationalfonds (SNF)
• Kooperationspartner: Professor Dr. Gianluca Crippa