Approximation von Vielteilchen-Wellenfunktionen auf dünnen Gittern
Final Report Abstract
Unser Ausgangsehrgeiz, eine völlige Alternative mittels Wavelets zu den traditionellen Vielteilchenbeschreibungen wie MCHF, CI, CC, QMC, etc. zu entwickeln wurde etwas zurückgenommen, um die inzwischen besser bekannten Stärken der Wavelets mit den Stärken der anderen Ansätze zu kombinieren. Insbesondere die kurzreichweitigen Korrelationen lassen sich mittels Wavelets und Störungstheorie besonders gut beschreiben. Nicht so gut sieht es mit den langreichweitigen Korrelationen aus, wo RPA für inhomogene Systeme stark ist. Aber auch dafür bieten Waveletbasen besondere Möglichkeiten, ist man bei allen Vielteilchen Beschreibungen doch letztlich auf einen bestimmten Funktionenraum und dessen mehr oder weniger guten Eigenschaften angewiesen. Wavelets haben einzigartige Eigenschaften, die von keinen anderen Funktionensätzen geteilt werden. Deshalb ist es auch erforderlich, andere Techniken zur Berechnung von Matrixelementen einzusetzen, als dies bei analytischen Funktionensätzen der Fall ist. In gewisser Weise zeigt sich auch dabei eine enge Verwandschaft zu den Gaußbasen, wo numerische Berechnungen von Matrixlelementen zwar möglich aber nicht ratsam sind und die analytische Berechnung von Coulomb Matrixelementen angeraten ist: sie ist nicht nur schneller sondern vor allem sehr viel genauer und rührt damit zu erhöhter Stabilität von Computerberechnungen. Wavelets sind durch ihre Lokalisierung im Orts- und Impulsraum der Unschärferelation genauso angepasst wie Gaußfunktionen, haben aber durch ihr oszillierendes Verhalten weit günstigere Approximationseigenschaften als die monotonen Gaußfunktionen. Unsere Arbeiten konnten bereits einiges zum Verständnis beim Einsatz von Wavelets für die Beschreibung von Vielteilchenproblemen beitragen: falls man die Vielteilchenwellenfunktion nur soweit approximieren muß, daß totale Energien für Systeme mit nicht zu vielen aber auch nicht unendlich vielen Teilchen mit den herkömmlichen Techniken gut erhalten werden können, kann man auf die Besonderheiten von Wavelets verzichten. Wenn allerdings Cuspeigenschaften sowie die exponentielle Asympthotik ebenfalls gut zu beschreiben sind (z.B. in rastertunnelmikroskopischen Anwendungen), dann sind Wavelets geeigneter, muß man ansonsten asymptotische Beschreibungen an energieoptimierte Bulkbeschreibungen anpassen mit allen sich daraus ergebenden Schwierigkeiten.
Publications
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