Project Details
Projekt
Analysis und Geometrie von Differentialoperatoren und stochastischen Prozessen auf unendlichdimensionalen Räumen
Applicant
Professor Dr. Michael Röckner
Subject Area
Mathematics
Term
from 2000 to 2006
Project identifier
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5467294
Das Verhalten von stochastischen Systemen mit unendlich vielen Freiheitsgraden [wie z.B. unendliche wechselwirkende Teilchensysteme, deren Dynamik durch eine stochastische (partielle) Differentialgleichung gegeben ist] läßt sich im Markovschen Fall analytisch über den infinitesimalen Generator ihrer Übergangswahrscheinlichkeiten beschreiben. Dieser Generator ist ein (Pseudo-)Differentialoperator der Ordnung (höchstens) 2 in unendlich vielen Variablen. Bei Systemen mit sehr singulären Wechselwirkungen sind entsprechend die Koeffizientenfunktionen des Operators singulär. Wie in endlichen Dimensionen ist zu dessen Analyse die Entwicklung einer geeigneten LP-Theorie in unendlich vielen Dimensionen notwendig, d.h.: ein unendlichdimensionales Analogon der klassischen Sobolevraum-Theorie. Da auf unendlichdimensionalen Räumen kein Lebesguemaß existiert, ist es zunächst erforderlich, ein dem Operator und der jeweiligen zugrunde liegenden Geometrie angepaßtes Referenzmaß zu konstruieren. Typischerweise sind (sub)invariante Maße des Operators [d.h.: verallgemeinerte (super)harmonische Funktionen des dualen Operators] dazu geeignet. Anschließend kann der Operator in den zugehörigen LP-Sobolevräumen genau analysiert werden, und es können Rückschlüsse auf spezielle Eigenschaften des zu untersuchenden stochastischen Systems gezogen werden. Im einzelnen sollen u.a. folgende Themen dazu bearbeitet werden: - A priori Abschätzungen, Existenz, Eindeutigkeit und Regularität (sub-)invarianter Maße µ - Existenz und Eindeutigkeit einer Erweiterung des Operators, der eine Halbgruppe auf LP(µ) erzeugt, die die verlangten Übergangswahrscheinlichkeiten beschreibt - Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der zugrunde liegenden stochastischen (partiellen) Differentialgleichung - Untersuchung von Spektraleigenschaften des Operators aufLP(µ), insbesondere hinsichtlich der Asymptotik der Langzeitentwicklung des stochastischen Systems - Fallstudien/Anwendungen: stochastische Burgers und NavierStokes Gleichungen, stochastische Quantisierung, singuläre Diffusionen auf Rd, Klassen maßwertiger Diffusionen, Diffusionsoperatoren auf Pfad- und Schleifenräumen über Riemannschen Mannigfaltigkeiten.
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Research Units
