Datengetriebene variationelle Multiskalenmodellierung von Subgridskaleneffekten in Discontinuous Galerkin Verfahren

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Dominik Schillinger
• Fachliche Zuordnung: Strömungsmechanik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 528186504

Für die Large Eddy Simulation mittels Galerkin Verfahren bietet die Variationelle Multiskalenmethode (VMS) eine mathematisch präzise Grundlage für die Konstruktion von Schließungsmodellen, basierend auf der Aufteilung des Lösungsraums in einen Grobstrukturanteil (dem Finite Elemente Approximationsraum) und ein unendlich dimensionales Feinstrukturkomplement. Discontinuous Galerkin (DG) Verfahren sind aufgrund ihrer Robustheit, Konservierungseigenschaften und hohen Genauigkeitsordnung besonders geeignet für die Strömungssimulation. Aufgrund ihrer diskontinuierlichen Basis und den variationellen Flusstermen sind DG Verfahren allerdings inkompatibel zur bisher etablierten VMS Methodik. Ein neues VMS-DG Framework, vor kurzem von der Gruppe des Antragstellers vorgestellt, bringt das Discontinuous Galerkin Verfahren mit der VMS Methode in Einklang. Es basiert auf einer speziellen VMS Feinskalenschließfunktion, definiert als Lösung eines variationellen Feinskalenproblems, die im Gegensatz zur etablierten Greenschen Feinskalenfunktion Beiträge von Diskontinuitäten berücksichtigt und sperrige Faltungen vermeidet. Darüber hinaus wurde für den Fall der Advektions-Diffusionsgleichung gezeigt, dass Feinskalenschließfunktionen in DG Diskretisierungen einen stark lokalisierten Träger aufweisen. Im vorliegenden Projekt soll ausgehend von dieser Grundlage eine neue datengetriebene Modellierungsstrategie für Subgridskalen im Rahmen von DG Verfahren entwickelt werden. Das Forschungsprogramm basiert auf drei zentralen Hypothesen: (1) Aufgrund der Lokalisierung von Feinskalenschließfunktionen ermöglichen DG Verfahren deren genaue elementweise Modellierung als Näherungslösungen des variationellen Feinskalenproblems der (inkompressiblen) Navier- Stokes Gleichungen. (2) Die rechentechnische Herausforderung, eine große Anzahl solcher Feinskalenprobleme zur Laufzeit zu lösen, kann durch den Einsatz moderner datengetriebener Modellreduktionstechnologie bewältigt werden. (3) Aufgrund der konsistenten (residuumsbasierten) VMS Formulierung bleibt der datengetriebene Ansatz eng verflochten mit den physikalischen Erhaltungsgleichungen und kann so Subgridskaleneffekte angemessen darstellen. Das Forschungsprogramm befasst sich unter anderem mit der Erweiterung des neuen VMS-DG Frameworks auf die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen, der Herleitung und Untersuchung zweier Modellierungsvarianten für die lokalisierte Feinskalenschießfunktion im DG Kontext, sowie der Entwicklung eines nichtlinearen DEIM-gekoppelten Reduced Basis Verfahrens und der entsprechenden datengetriebenen Kalibrierung, um die praktische Berechnung über die hocheffiziente Lösung von variationellen Feinskalenproblemen zu ermöglichen. Die Machbarkeit des datengetriebenen Ansatzes, seine rechentechnische Effizienz, sowie die durch die elementweise Subgridskalenmodellierung erreichbare Genauigkeit von Large Eddy Simulationen sollen auf der Basis etablierter Benchmarkprobleme nachgewiesen werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Niederlande, USA
• Kooperationspartner: Professor Bernardo Cockburn; Professor Thomas J.R. Hughes, Ph.D.; Dr. Stein Stoter