2-Vektorbündel, Schleifenräume und Elliptische Objekte

• Antragsteller: Professor Dr. Konrad Waldorf
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 531484544

Ziel dieses Projektes ist, eine geometrische Herangehensweise zur Elliptischen Kohomologie zu entwickeln, analog zur Realisierung von K-Theorie durch Vektorbündel. Die Vermutung, dass eine solche Perspektive möglich ist, wurde in Arbeiten von E. Witten und G. Segal beschrieben, und dann durch S. Stolz und P. Teichner weiterentwickelt. Vor etwa 20 Jahren wurde ein Versuch von N. Baas et al. unternommen, der aber nicht die gewünschten Erfolge erbrachte. In dem hier beschriebenen Projekt wollen wir einen neuen Anlauf versuchen, mit einer neuen vielversprechenden Version von 2-Vektorbündeln als Vertreter elliptischer Kohomologieklassen. Diese 2-Vektorbündel wurden hauptsächlich von mir, M. Ludewig, und P. Kristel entwickelt. Außerdem wollen wir einen anderen Zugang zu Elliptischer Kohomologie wählen (Tate K-Theory), der von N. Kitchloo und J. Morava entwickelt wurde, und auch von N. Ganter und anderen weiterentwickelt wurde. Dabei geht es um eine Version von equivarianter K-Theorie von Schleifenräumen. In diesem Projekt wollen wir diese beiden Ideen miteinander kombinieren und einen neuen Versuch unternehmen, das Problem der geometrischen Repräsentierbarkeit von elliptischen Kohomologieklassen anzugehen. Der zentrale Punkt ist die Entwicklung einer Transgression von 2-Vektorbündeln in den Schleifenraum, so dass transgressierte 2-Vektorbündel Klassen in der Tate K-Theorie ergeben. Wir hoffen, dass ein Fortschritt in dieser Richtung zur Lösung weiterer, noch schwierigerer Probleme beitragen kann: welche Art von Differentialoperatoren operieren auf den Schnitten von 2-Vektorbündeln, haben solche Operatoren Indizes mit Werten in Elliptischer Kohomologie, und welche Rolle spielen Verschwindungseigenschaften dieser Indizes für die Geometrie von Mannigfaltigkeiten?

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen