Algebraische und metrische Eigenschaften des zufälligen geometrischen Graphen und davon erzeugter Komplexe

• Antragsteller: Professor Dr. Matthias Reitzner; Professor Dr. Tim Römer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 531562368

Untersuchungen über geometrische Graphen und simpliziale Komplexe sowie ihrer Eigenschaften bilden ein äußerst aktives Forschungsgebiet. Die Frage, wie der "durchschnittliche" Graph aussieht, d.h. wie sich kombinatorische und topologische Eigenschaften eines generischen Graphen und des davon erzeugten simplizialen Komplexes verhalten, ist in vielen Anwendungen wichtig und von hohem intrinsischem mathematischem Interesse. Im Speziellen standen der f-Vektor und die Betti Zahlen im Fokus der Forschung. Um die Frage nach dem generischen Verhalten zu beantworten, werden zufällige Graphen untersucht. Die klassischen Modelle sind der zufällige Erdös-Renyi Graph und der zufällige geometrische Graph im euklidischen Raum. Der zufällige geometrische Graph und die von diesem erzeugten simplizialen Komplexe bilden den Hauptfokus des vorliegenden Antrags. In den letzten Jahren sind zahlreiche Arbeiten erschienen, die Modelle der stochastischen Geometrie, der stochastischen Analysis, und der topologischen Datenanalyse mit zufälligen Graphen und zufälligen simplizialen Komplexen in Verbindung gebracht haben. Aufgrund des "Nerve lemmas" ist die topologische Struktur des "Boolschen Modells" und des "Cech Komplexes" im Wesentlich identisch. Das erlaubt es, wichtige Fragen zu algebraischen und metrischen Eigenschaften zufälliger Graphen und zufälliger simplizialer Komplexe in geometrische Fragestellungen zu übersetzen. In diesem Antrag untersuchen wir den zufälligen geometrischen Graphen, der auf einem Poissonschen Punktprozess aufbaut. In diesem Graphen werden zwei Knoten durch eine Kante miteinander verbunden, falls ihr Abstand kleiner als eine vorgegebene Schranke ist. Der Vietoris-Rips Komplex ist nun der Clique-Komplex des Graphen, und eine verwandte Konstruktion liefert den Cech Komplex. Wir interessieren uns hier für die Strukturen des Graphen und dieser Komplexe, wenn die Intensität wächst und der Kantenabstand gegen Null konvergiert. Insbesondere wollen wir das Grenzverhalten von metrischen und algebraischen Eigenschaften des zufälligen Graphen und der simplizialen Komplexe analysieren, zusätzlich die Abhängigkeit vom zugrundeliegenden Raum (euklidisch, sphärisch, hyperbolisch) und Verallgemeinerungen zu verwandten zufälligen Graphen untersuchen. Als erstes sollen Eigenschaften des f-Vektors und der Volums-Potenz Funktionale in den Blick genommen werden, dann die Euler Charakteristik und etwas allgemeiner der h-Vektor dieser zufälligen simplizialen Komplexe untersucht werden. Das führt auf die Fragen nach der Dimension von Vietoris-Rips und Cech Komplexen. Die algebraischen Betti Zahlen wurden in diesem Kontext und mit diesen Modellen in der Literatur bislang nicht betrachtet - im Gegensatz zu ihrem topologischen Gegenüber. Eines der Hauptziele der Untersuchung wird etwa sein, mit welcher Wahrscheinlichkeit die zufälligen Komplexe die Cohen-Macaulay Eigenschaft haben, und zwar in dem Regime, welches einen zusammenhängenden Komplex erzeugt.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2265: Zufällige geometrische Systeme