Inverse Multiscale Geoid Computation

• Applicant: Professor Dr. Willi Freeden
• Subject Area: Geophysics
• Term: from 2001 to 2011
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5322860

• Final Report Year: 2010

Final Report Abstract

Das DFG–Projekt stützt sich mathematisch auf drei unterschiedliche Ausgangssituationen: (1) Als Approximationsfläche an das Geoid wurde eine Fläche (z.B. ein Ellipsoid) gewählt, die sich umkehrbar eindeutig auf eine Innensphäre abbilden lässt. Die Transformationsformel für Integrale erlaubt dann den effizienten und ökonomischen Einsatz von bekannten Multiskalenmethoden der Sphäre für die Approximationsfläche. (2) Als Runge–Fläche innerhalb des Geoids wird eine Sphäre (Bjerhammar–Sphäre) gewählt. Konstruktive Approximation über ein Randwertproblem wird durch polynomiale (d.h. “Outer Harmonics”) exakte Integrationsformeln gewährleistet, die ihre Knoten auf der Runge–Sphäre und ihre “Inputwerte” von der regulären Fläche oder dem Außenraum beziehen. Die Multiresolution erfolgt über bandlimitierte Skalierungs- und Waveletfunktionen. Die numerische Umsetzung erforderte intensive Studien zur Spezifikation geeigneter Knotensysteme. Um bessere Stabilität in der Modellierung zu gewinnen, war es ratsam, mehr Datenpunkte als nötig in den auftretenden linearen Gleichungssystemen zu benutzen. Der zu zahlende Preis waren aufwendige Methoden unter Berechnung der Pseudoinversen. Die Numerik zeigte allerdings keinen Genauigkeitsverlust für beliebige georelevante reguläre Flächen gegenüber sphärischen Referenzflächen. (3) Der Runge–Gedanke wird durch Regularisierung unter Verwendung von Flächenpotentialen mit Werten generiert auf inneren Parallelflächen umgesetzt. Dies erlaubt z.B. die Formulierung von Randwertproblemen in (regularisierten) Integralgleichungen vom Fredholmschen Typ, die diskret in Baumstruktur nach einem “Fast– Wavelet–Mechanismus” auswertbar sind. “Zooming–In” vom Globalen zum Lokalen erfolgt effizient mit ortslokalisierenden Potentialwavelets. Für die Geoidbestimmung erwiesen sich die Varianten (1) und (3) als die bei weitem ökonomischere Wahl. Für die Sphäre ergaben sich sogar sehr schnell präzise Ergebnisse. Darüberhinaus können die Verfahren (1) und (3) die Lokalisierung der Skalierungsfunktionen auf regulären Flächen für ein “Zooming–In” besser ausnutzen. Dennoch muss man sagen, dass auch die Ergebnisse für das Runge–Verfahren (2) zu inneren sphärischen Runge–Flächen (Bjerhammar–Sphären) ein großer Schritt in Richtung “Wissenschaftliches Rechnen” auf beliebigen regulären Flächen ist. Es wurde möglich, bis Grad 100 unter Verwendung von “Outer Harmonic”–basierten, d.h. bandlimitierten Multiskalenrealisationen zu rechnen. Darüber hinaus ist anzumerken, dass der Umgang mit einem nicht–trivialen a o Nullraum, wie z.B. im Molodensky–Randwertproblem, adäquat gelöst werden konnte.

Publications

• Regularized Wavelet-based Multiresolution Recovery of the Harmonic Mass Density Distribution from Data of the Earth's Gravitational Field at Satellite Height. Inverse Problems, (21): 997-1025, 2005
  V. Michel
  
• Spaceborne Gravitational Field Determination by Means of Locally Supported Wavelets. Journal of Geodesy, (79): 431-446, 2005
  W. Freeden, M. Schreiner
  
• Harmonic Spline-Wavelets on the 3-dimensional Ball and their Application to the Reconstruction of the Earth's Density Distribution from Gravitational Data at Arbitrarily Shaped Satellite Orbits. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, (86): 856-873, 2006
  M. J. Fengler, D. Michel ,V. Michel
  
• Local Multiscale Modelling of Geoidal Undulations from Deflections of the Vertical. Journal of Geodesy, (78): 641-651, 2006
  W. Freeden, M. Schreiner
  
• Multiscale Solution for the Molodensky Problem on Regular Telluroidal Surfaces. Acta Geodaetica et Geophysica Hungarica, (41): 55-86, 2006
  W. Freeden, C. Mayer
  
• Wavelet Modelling of Regional and Temporal Variations of the Earth's Gravitational Potential Observed by GRACE. Journal of Geodesy, (81): 5-15 , 2007
  M. Fengler, W. Freeden, A. Kohlhaas, V. Michel, T. Peters
  
• On the Completeness and Closure of Vector and Tensor Spherical Harmonics. Integral Transforms and Special Functions, (19): 713-734, 2008
  W. Freeden, M. Gutting
  
• On the Local Multiscale Determination of the Earth’s Disturbing Potential From Discrete Deflections of the Vertical. Computational Geosciences, (12): 473-490, 2008
  T. Fehlinger, W. Freeden, C. Mayer, M. Schreiner
  
• Classical Globally Reflected Gravity Field Determination in Modern Locally Oriented Multiscale Framework. Journal of Geodesy, (83): 1171-1191, 2009
  W. Freeden , T. Fehlinger, M. Klug, D. Mathar and K. Wolf
  
• Geomathematik, was ist das überhaupt? Jahresbericht der DMV, JB 111. Band (3): 125-152, 2009
  W. Freeden
  
• Klassische Erdschwerefeldbestimmung aus der Sicht moderner Geomathematik. Mathematische Semesterberichte, (56): 53-78, 2009
  W. Freeden, K. Wolf
  
• Geomathematics: Its Role, Its Aim, and Its Potential. Handbook of Geomathematics, Springer, Heidelberg, Band 1, 3-42, 2010
  W. Freeden
  
• Satellite Gravity Gradiometry (SGG) - From Scalar to Tensorial Solution. Handbook of Geomathematics, Band 1, Springer, Heidelberg 269-302, 2010
  W. Freeden, M. Schreiner
  
• Spherical Functions in Mathematical Geosciences - An Attempt of Categorization. Handbook of Geomathematics, Band 2, Springer, Heidelberg, 925-948, 2010
  W. Freeden, M. Schreiner