Systeme von Reaktions-Diffusionsgleichungen
Final Report Abstract
Es wurden Methoden der Linearen und Nichtlinearen Funktionalanalysis weiterentwickelt und auf Gleichungen (z. B. Differentialgleichungen) angewendet. Da sich der Stipendiat auf einen größeren Anwendungsbezug umorientierte, wurden zahlreiche Probleme aus Anwendungen betrachtet. Die Ergebnisse in den Anwendungen wurden dabei durch funktionalanalytische Methoden erzielt. Dazu wurden die Gleichungen aus den Anwendungen in einen abstrakten funktionalanalytischen Rahmen „übersetzt“, Eigenschaften der entsprechenden Operatoren in geeigneten Räumen analysiert, und schließlich Ergebnisse der funktionalanalytischen Theorie benutzt. Die Ergebnisse lassen sich also grob in drei Kategorien einordnen (Anwendungen, funktionalanalytische Ergebnisse, Räume und Operatoren) und werden im Folgenden stichwortartig skizziert. Fast jedes der Stichworte beinhaltet dabei eine eigenständige Veröffentlichung, teilweise sogar mehrere. Im Anwendungsfeld wurden sehr intensiv Reaktions-Diffusions-Systeme untersucht, die eine Erklärung zur Musterbildung bei Tieren (”Morphogenese“) darstellen können. Insbesondere Bifurkationsprobleme bei sog. einseitigen Hindernissen (verwandt mit mehrwertigen Operatoren) wurden studiert. U. a. wurde im Rahmen des Stipendiums und eines zusätzlichen einjährigen Forschungsaufenthalts ein 30 Jahre altes Problem in diesem Zusammenhang gelöst. Weitere Anwendungen betrafen Bifurkation und globale Lösungszweige von Gleichungen mit Varianten des p-Laplace-Operator, Probleme aus der physikalischen Chemie, Funktionaldifferentialgleichungen gebrochener Ordnung, sowie ein neuer Zugang zu Fraktalen. Die wichtigsten funktionalanalytischen/topologischen Ergebnisse legten Grundlagen für die Abbildungsgradtheorie von Funktionentripeln, die auch für mehrwertige Operatoren geeignet sind. Andere topologische Ergebnisse behandelten wesentliche Abbildungen, Kriterien für globale Lösungszweige und Bifurkationen, sowie eine Nielsen-Theorie zur Vielfachheit von Lösungen. Anwendbarkeit auch für nichtkompakte Operatoren ist eine wichtige Eigenschaft der betrachteten Zugänge. Im Studium spezieller Operatoren wurden Nichtkompaktheitsmaße von Integraloperatoren von Vektorfunktionen sowie mehrwertige Superpositionsoperatoren mit Parametern und Atomen betrachtet (jeweils durch die Anwendungen motiviert). Dazu wurde u. a. eine neue Klasse von Räumen messbarer Vektorfunktionen studiert.
Publications
- Elemente der Funktionalanalysis. Vieweg & Sohn, Braunschweig, Wiesbaden, 2005
Appell, J. and Väth, M.
- Global bifurcation of the p-Laplacian and related operators. J. Differential Equations 213 (2005), no. 2, 389-409
Väth, M.
- Continuity of single- and multivalued superposition operators in generalized ideal spaces of measurable vector functions. Nonlinear Functional Anal. Appl. 11 (2006), no. 4, 607-646
Väth, M.
- Degree and index theories for noncompact function triples. Topol. Methods Nonlinear Anal. 29 (2007), no. 1, 79-118
Väth, M.
- Global solution branches and a topological implicit function theorem. Ann. Mat. Pura Appl. 186 (2007), no. 2, 199-227
Väth, M.
- Some remarks on measures of noncompactness and retractions onto spheres. Topology Appl. 154 (2007), 3056-3069
Kim, I.-S. and Väth, M.
- Continuity, compactness, and degree theory for operators in systems involving p-Laplacians and inclusions. J. Differential Equations 245 (2008), 1137-1166
Väth, M.
- Global bifurcation ofa reaction-diffusion system with inclusions. J. Anal. Appl. 28 (2009), no. 4, 373-409
Eisner, J., Kucera, M., and Väth, M.
- New beams of global bifurcation points for a reaction-diffusion system with inequalities or inclusions. J. Differential Equations 247 (2009), 3040-3069
Väth, M.
- New bifurcation points for a reactiondiffusion system with two inequalities. J. Math. Anal. Appl. 365 (2010), 176-194
Eisner, J., Kucera, M., and Väth, M.
