Degeneration von Modulräumen von Bündeln auf Kurven: Verallgemeinerungen einer Konstruktion von Gieseker und deren Anwendungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Im Rahmen der Stringtheorie wird vermutet, daß Elementarteilchen eine eindimensionale Ausdehnung besitzen. Während sich die Geschichte eines punktförmigen "Teilchens als" Kurve in der Raumzeit Beschreiben laßt, ist die Geschichte eines eindimensional ausgedehnten Teilchens ("Strings") am besten durch eine zweidimensionale Fläche in der Raumzeit darstellbar. Wenn man davon ausgeht, daß die Strings geschlossen sind, so ist die gesamte Geschichte eines Teilchens von seiner Entstehnung bis zu seinem Verschwinden eine geschlossene Fläche, wie etwa eine Sphäre, oder die Oberfläche eines Torus. Eine zusätzliche Struktur macht eine solche Fläche zu einer sogenannten Riemannschen Fläche oder äquivalenterweise zu einer komplexen algebraischen Kurve. In der Quantentheorie wird die Wahrscheinlichkeit für Zustandsübergänge so bestimmt, daß jedem Vorgang, der von einem zum anderen Zustand führt, eine komplexe Zahl zugeordnet wird, und über alle derartigen Vorgänge summiert wird. Aus diesem Grund ist es in der Stringtheorie wichtig, die Gesamtheit aller Riemannschen Flächen zu betrachten. Um Grenzfälle mit einzuschließen ist es ferner wichtig, auch degenerierte Riemannsche Flächen (solche mit Singularitäten) zuzulassen. Durch diese Überlegungen sind Stringtheoretiker auf Objekte gestoßen, mit denen sich algebraische Geometer schon seit Ende des 19. Jahrhunderts beschäftigen. Interessanterweise konnten Physiker durch ihre Sicht der Dinge Vorhersagen über Eigenschaften mathematischer Objekte machen, die bislang von Seiten der Mathematik für vollkommen unerreichbar schienen. Für Mathematiker ist es eine reizvolle Herausforderung, diese Vorhersagen zu beweisen oder zu widerlegen. Die Faktorisierungsregel für verallgemeinerte Thetafunktionen ist eine solche Vorhersage der Stringtheorie. In meiner Arbeit habe ich versucht, diese Faktorisierungsregel mithilfe einer neuartigen geometrischen Struktur, dem des algebraischen Stacks, konzeptionell sauber herzuleiten. Die dabei konstruierten geometrischen Objekte sind wahrscheinlich geeignet, auch zur Lösung anderer mathematischer Fragen, wie etwa der Newstead-Vermutung beizutragen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Global sections of line bundles on a wonderful compacitfication of the general linear group
I. Kausz
- Stable maps into the classifying space of the general linear group. Ramanujan Mathematical Society, 12 pages
I. Kausz
- A canonical decomposition of generalized theta functions on the moduli stack of Gieseker vector bundles. J. Algebraic Geom. 14 (2005), 439-480
I. Kausz
- Twisted vector bundles on pointed nodal curves. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) Vol. 115, No2, May 2005, pp. 147-165
I. Kausz
- Vanishing of top equivariant Chern classes of regular embeddings. Asian J. Math. 9 (2005), no. 4, 489-496
M. Brion, I. Kausz
