Explizite Methoden für Gitter über Ordnungen und Anwendungen

• Antragsteller: Professor Dr. Tommy Hofmann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539387714

Die algorithmische Untersuchung zahlentheoretischer Fragestellungen ist eine der ältesten Teildisplizinen der Mathematik, welche unter anderem Euklid und Gauß zu ihren Vertreten zählt. Seit dem 20. Jahrhundert spielen Zahlkörper (gewisse Zahlbereiche, welche die rationalen Zahlen verallgemeinern) eine wichtige Rolle in dieser Theorie, welche sich durch die Verbindung zur Post-Quantum Kryptographie in den vergangenen Jahren weiter verstärkt hat. Von immer größerer Bedeutung werden zudem auch beliebige endlich-dimensionale Algebren über globalen Körpern, welche als nicht-kommutative Verallgemeinerungen von Zahlkörpern aufgefasst werden können. Dabei ist man, wie im klassischen Fall von Zahlkörpern, hauptsächlich an der ganzzahligen Struktur interessiert, welche in diesem Fall durch Ordnungen und Gittern gegeben ist. Im algorithmischen Kontext ist eines der Hauptprobleme zu entscheiden, ob zwei gegebene Gitter isomorph sind (und einen Isomorphismus finden, falls er existiert). Für dieses Isomorphieproblem von Gittern wird ein Arbeitsprogramm vorgeschlagen, dessen Ziele sowohl theoretischer als auch praktischer Natur sind. Auf der einen Seite soll für die wichtige Klasse von Eichleralgebren die Komplexität des Problems in Relation zur klassischen Situation von Zahlkörpern gebracht werden. Auf der anderen Seite ist das Ziel ein praktischer Algorithmus, welcher für Gitter und Ordnungen über beliebigen Algebren anwendbar ist. Ziel ist es dann, den Algorithmus bei der Untersuchung topologischer Räume einzusetzen, da durch die Theorie höherer Homotopiegruppen deren Eigenschaften mit Hilfe von Gittern untersucht werden können.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen