Boundary-value problems including spectral parameters and hybrid models for semi-conductor device simulations

• Applicant: Dr. Joachim Rehberg
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2003 to 2007
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5395651

Die zunehmende Miniaturisierung von Halbleitern erzwingt die Berücksichtigung von Quanteneffekten zumindestens in Teilbereichen des Halbleiters, z.B. der aktiven Zone eines Lasers. Da sich in den übrigen Bereichen eine Beschreibung durch numerisch erprobte klassische Modelle anbietet, ist die Etablierung von Hybridmodellen, bestehend aus klassischen und quantenmechanischen Modellen, eine wichtige Aufgabe. Entscheidend ist dabei, physikalische Prinzipien, die das System als Ganzes betreffen, korrekt umzusetzen. In erster Linie heißt das, korrekte Randbedingungen für das offene quantenmechanische Teilsystem zu finden, die einen stetigen Stromfluss vom offenen quantenmechanischen Teilsystem zum klassischen System erlauben, zugleich aber sicherstellen, dass das quantenmechanische Teilsystem sich in ein umfassenderes abgeschlossenes Quantensystem einordnet. Die letzte Forderung ist zwingend geboten, da eine konsistente quantenmechanische Behandlung nur für abgeschlossene Systeme möglich ist. Als mathematisch adäquater Rahmen für die Behandlung dieser Aufgabe empfiehlt sich eine Modellierung durch spektralparameterabhängige Randbedingungen. Durch "Linearisierung des nichtlinearen Eigenwertproblems" erhält man in speziellen Fällen einen selbstadjungierten Operator, der als Hamiltonian des umfassenderen abgeschlossenen Systems interpretiert werden kann. Das Hauptinteresse gilt Hybridmodellen, bestehend aus Drift-Diffusionsmodellen und Schrödinger-Poisson-Systemen im 1D-Fall und 2D-Fall. Ziel ist der Nachweis von deren analytischer und numerischer Lösbarkeit. Die Ergebnisse sollen Berücksichtigung in existierenden Programmpaketen zur numerischen Simulation und Optimierung von Halbleiterbauelementen finden.

• DFG Programme: Research Grants