Autoequivalences of derived categories and generalised Weyl group
Final Report Abstract
Das Studium von Flächensingularitäten ist ein Gebiet der Mathematik, dass Algebra, Geometrie und Topologie verbindet. Eine klassische Invariante solcher Singularitäten ist a das Milnor-Gitter, das die Untersuchung der Singularitäten mit Methoden der linearen Algebra erlaubt (ausgezeichnete Basen, Poincaré-Reihen usw.). Im Förderungszeitraum wurden in einer gemeinsamen Arbeit mit Wolfgang Ebeling (Hannover) Fuchssche Singularitäten betrachet: Ein Ziel war es, an Stelle der üblichen Arbeitsweise mit Gitterbasen einen geometrischen und kategorischen Zugang zu benutzen. Die derivierte Kategorie ermöglicht dies, indem Gitterklassen durch (Komplexe von) Garben ersetzt werden. Es wurde der Begriff des Coxeter-Elementes für beliebige Fuchssche Singularitäten eingeführt, der im Fall von Geschlecht 0 mit der klassischen Definition übereinstimmt. Das Coxeter-Element lässt sich von einer Gitterisometrie zu einer Kategorienäquivalenz heben, wobei sphärische Twists und eine Geradenbündelmultiplikation benutzt werden. Es wurde gezeigt, dass sich der neue Coxeter-Funktor nahtlos in die vorher entwickelte Theorie (für Kleinsche und spezielle Fuchssche Singularitäten einfügt). Glatte torische Varietäten sind eine wichtige Klasse von Mannigfaltigkeiten, die in der algebraischen Geometrie untersucht werden. Weil sie vollkommen durch kombinatorische Daten beschreibbar sind, weiß man in vielen Fragen mehr über torische als über allgemeine Varietäten. Während des Förderungszeitraums wurde ein Ansatz entwickelt, die Automorphismen der derivierten Kategorie einer glatten, projektiven, torischen Fläche zu untersuchen. Diese Automorphismen sollte man als ”höhere“ Symmetrien der im Blickpunkt stehen den Varietät auffassen. Aufgrund der Komplexität der derivierten Kategorie sind explizite Aussagen oft nicht möglich. Nach Beendigung des Auslandsaufenthaltes wurde das Forschungsvorhaben zusammen mit Nathan Broomhead in Hannover beendet. Es stellt sich heraus, dass für torische Flächen viele der Fragen angreifbar sind. So ist es möglich, Erzeuger für die Gruppe der derivierten Automorphismen anzugeben. In sehr vielen Fällen ist es sogar möglich, die Relationen zu beschreiben; ein nicht unbedingt erwartetes Resultat. Außerdem erlauben diese Untersuchungen, die Theorie der sphärischen Twists (ein spezieller Typ von derivierten Automorphismen) mit exzeptionellen Objekten in Beziehung zu setzen. (Es gibt eine sehr umfangreiche Literatur über exzeptionelle Objekte auf torischen Varietäten.)
Publications
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Autoequivalences of toric surfaces
David Ploog, Nathan Broomhead
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Poincaré series and Coxeter functors for Fuchsian singularities. Adv. in Math. 225/3 (2010), 1387–1398
David Ploog, Wolfgang Ebeling
