Modelling and simulation of length-scale dependent plastic deformation based on the continuum theory of dislocations

• Applicant: Professor Dr. Ewald Werner
• Subject Area: Metallurgical, Thermal and Thermomechanical Treatment of Materials
• Term: from 2003 to 2007
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5408323

• Final Report Year: 2007

Final Report Abstract

Die plastische Verformung kristalliner Stoffe auf der Mikro- und Nanoskala ist längenskalenabhängig: kleinere Volumen sind plastisch härter, verformungsinduzierte Mikrostrukturen besitzen charakteristische Längen in diesem Bereich. Klassische Beispiele für das Auftreten dieser Phänomene sind die Torsion dünner Drähte, die Nano-Indentation und Korngrösseneffekte. Ziel des Vorhabens war es, eine neue Theorie, basierend auf der Kontinuumstheorie der Versetzungen, zu entwickeln, die in der Lage ist, diese Effekte zu erklären und zudem Basis für eine numerische Berechnungsmethode zur Simulation dieser Phänomene sein soll. Die Theorie ausgebauchter Versetzungen wurde in einen kontinuumsmechanischen Rahmen eingebettet. Das Modell wurde auf einfache Probleme (Scherung einer dünnen Schicht, Zugversuch an einer dünnen Schicht, Biegung eines freien dünnen Streifens, Torsion eines dünnen Drahtes) angewendet. Die Ergebnisse, zum Teil analytisch, zum Teil rein numerisch gewonnen, stimmen gut mit den Ergebnissen anderer Modelle oder sogar experimenteller Untersuchungen überein. Besonders erwähnenswert ist die erfolgreiche Vorhersage der Längenskalenabhängigkeit bei Biegung und Torsion, wo an sich durch eine freie Oberfläche der betrachteten Bauteile keine Begrenzung der Versetzungsbewegung vorliegt. Hier übernimmt die neutrale Ebene bzw. Faser die Rolle einer Grenzschicht, die die Versetzungen zum Ausbauchen zwingt. Weitere Phänomene die das Modell qualitativ erklären kann sind das "source-shortening", welches in der Literatur verantwortlich gemacht wird für eine vermehrte Kaltverfestigung in der Umgebung der Fasern in Verbundstrukturen, sowie die jüngst in Experimenten detailliert gemessenen Spannungsfluktuation in Versetzungs- Zell-Strukturen. Das Kontinuumsmodell wurde um eine detailliertere Berücksichtigung der kurzreichweitigen Wechselwirkungen zwischen Versetzungen ergänzt. Diese basiert auf dem Prinzip der Rückspannungen in Versetzungs pile-ups. Parallel zum Ausbau des Modells wurde an der Umsetzung in eine numerische Berechnungsmethode gearbeitet. Aufgrund der Nichtlokalität des Materialgesetzes (Vorkommen von Gradienten der inneren Variablen) und des konvektionsdominierten Charakters des dynamisch betrachteten Gesamtproblems erweist sich dies allerdings als numerisch sehr anspruchsvoll. Es wurde die sogenannte Versetzungs-Lagrange Methode entwickelt, in welcher die Evolution des Versetzungskontinuums mit Hilfe eines Lagrange-Verfahrens verfolgt wird, das Problem der Kontinuumsmechanik allerdings weiterhin klassisch auf Eulerschem Weg behandelt wird. Dies erfordert Homogenisierungsschritte im Laufe der Berechnung, liefert dafür aber ausserordentlich stabile Rechenergebnisse. Die Methode wurde in MATLAB implementiert und bereits erfolgreich zur Berechnung einfacher periodischer Verbundstrukturen im Rahmen des ebenen Verzerrungszustandes eingesetzt. Mit der Hilfe einiger Fachkollegen aus Paris hoffen wir, in diesem Jahr die Kopplung des Modells an das kommerzielle FEM Programm ZEBULON abschliessen zu können. Wir haben bereits Einblick in das von ihnen zu einem ganz ähnlichen Zweck entwickelte Modul erhalten, und ein gutes theoretisches Verständnis für die grundsätzliche Funktionsweise entwickelt. Basierend auf der von den Kollegen neu überarbeiteten Version des Moduls wird ab Sommer die Arbeit an der Kopplung des vorliegenden Modells an ZEBULON fortgesetzt werden. In das existierende, kontinuumsmechanische Modell der Subkornbildung wurden kurzreichweitige Versetzungswechselwirkungen eingebaut, die eine innere Längenskala mit sich bringen. Diese bestimmt die Größe der misorientierten Zellen sowie die Orientierung der Zellgrenzen. Dies ist der erste Schritt, die Theorie der Subkornbildung mit der allgemeinen Theorie, welche für die längenskalenabhängige Plastizität eingesetzt wird, zusammenzuführen. Zur Analyse des Modells wurde die Minimierung eines Energiefunktionals ausgenutzt, die es ermöglicht, die Methoden der modernen Variationsrechnung (nicht-konvexe Energieminimierung) zu verwenden. Die Arbeiten erfolgten in enger Zusammenarbeit mit den Fachkollegen in Prag. In dem Projekt wurde eine solide und mathematisch abgesicherte Grundlage eines neuartigen physikalisch fundierten und praktisch anwendbaren kontinuumsmechanischen Modells der nichthomogenen plastischen Verformung auf der Mikrometer-Skala geschaffen, das zwischen der rechnerisch sehr anspruchsvollen diskreten Versetzungsdynamik und den nicht ausreichend physikalisch begründeten verallgemeinerten Kontinuumsansätzen angesiedelt ist.

Publications

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