Gittins Indices und Optimierungsprobleme in unvollständigen Finanzmarktmodellen
Final Report Abstract
Die optimale Verwendung von begrenzten Resourcen ist ein in vielerlei Zusammenhängen (nicht nur, aber leider auch bei der DFG) natürlich auftretendes Problem. Das Projekt konnte hierzu zwei wesentlich neue mathematische Beiträge leisten. Zum einen wurde gezeigt, wie optimale dynamische Allokationsstrategien an sich sowohl zeitlich als auch zufällig verändernde Kapazitätsgrenzen anzupassen sind, wenn man lediglich festzulegen hat, wann wieviel in ein gewisses Projekt zu investieren ist. Es wird gezeigt, dass optimale Kontrollen stets nur dann investieren, wenn dies einen maximalen Effekt erzielt, und dass dieses Investment maximal möglich gewählt werden muss, wenn die Effektivität zukünftiger Interventionen tendiert geringer auszufallen. Es wird ferner gezeigt, wie optimale Kontrollen aus der Lösung eines stochastischen Darstellungsproblems konstruiert werden können. Die dabei verwendeten mathematischen Methoden beschreiben auf neue, rein probabilisische Weise den Zusammenhang zwischen Problemen des optimalen Stoppens und sogenannten singulären Kontrollproblemen. Dieser Zusammenhang war zuvor nur im Markoffschen Rahmen bei fester Kapazitätsobergrenze mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen deutlich geworden. Zum anderen wurde eine auf Kaspi und Mandelbaum (1998) zurückgehende Vermutung zur Struktur optimaler Allokationsstrategien bewiesenen. Diese Vermutung bezog sich auf das Gittins’sche Allokationsproblem, bei dem es um die optimale Bearbeitung mehrer voneinander unabhänginger Projekte geht, die unterschiedliche, zufällig varriierende Erfolgsprämien abwerfen. Es ist wohlbekannt, dass in einer derartigen Situation optimale Allokationsstrategien vorschreiben, stets nur an Projekten zu arbeiten, die augenblicklich den größten Gittinsindex unter allen möglichen Projekten aufweisen. In zeitdiskreten Modellen genügt dies bereits zur Charakterisierung optimaler Strategien. In zeitstetigen Modellen reicht dies allein jedoch nicht mehr aus, um Optimalität zu garantieren, und das Projekt zeigte, dass erst eine von Kaspi und Manelbaum formulierte zusätzliche Exkursionseigenschaft eine vollständige Charakterisierung optimaler Allokationen ermöglicht. Auch hier wird ein stochastisches Darstellungsproblem, wie es schon im ersten Projektteil auftrat, ganz wesentlich zur Beweisführung herangezogen.
Publications
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Optimal Control under a Dynamic Fuel Constraint. SIAM Journal on Control and Optimization, 2005, 44(4), 1529–1541
Peter Bank
