T-Koerzivität und Zielsignaturen in der Simulation von Wellenausbreitungsphänomenen

• Antragsteller: Dr. Martin Halla
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 541433971

In unserem täglichen Leben sind wir allgegenwärtig von verschiedensten Wellen umgeben und viele dieser Phänomene werden als partielle Differentialgleichungen in unbeschränkten Gebieten modelliert. Eine grundlegende Methode, um solche Wellenausbreitungsprobleme zu simulieren, ist die Methode der komplexen Skalierung, welche auch als Perfectly Matched Layer (PML) Methode bekannt ist. Diese Methode wird bereits seit den 1970ern in der Molekularphysik genutzt, um Resonanzen zu berechnen. In den 1990ern hat Bérenger seine PML Methode für zeitabhängige elektromagnetische Wellengleichungen eingeführt und bald wurde erkannt, dass PMLs eine Variante der komplexen Skalierung sind. Die Arbeiten von Bérenger hatten einen immensen Einfluss auf dieses Arbeitsgebiet und PMLs wurden bald für allerlei Arten von Wellengleichungen benutzt, weil ihre Implementierung nur sehr wenig Aufwand erfordert. Obwohl PMLs bereits seit Jahrzehnten eingesetzt werden ist ihre Konvergenzanalyse immer noch im Anfangsstadium und es existieren nur eine Handvoll Arbeiten mit Konvergenzbeweisen für Resonanzprobleme und zeitabhängige Gleichungen. Zusätzlich ist die erfolgreiche Anpassung der PML Methode für allgemeine anisotrope Elastodynamik immer noch ein offenes Problem seit zumindest 20 Jahren. Ein weiterer wichtiger Aspekt bei der Untersuchung von Wellenausbreitungsphänomenen sind Eigenwertprobleme. Das Studium vieler Themen wie zum Beispiel Transmissions-Eigenwertprobleme und klassische Eigenwertprobleme welche konduktive Medien, dispersive Medien, Impedanz-Randbedingungen oder resistive Schichten miteinbeziehen führen zu nichtlinearen, nichtselbstadjungierten Eigenwertproblemen. Wegen ihrer nichtlinearen und nichtselbstadjungierten Eigenschaften gibt es bezüglich der Analyse und zuverlässigen Simulation von solchen Problemen noch viele ungelöste Fragestellungen. Um solche Probleme zu bearbeiten werden wir neue theoretische Werkzeuge benutzen: T-Koerzivitätstechniken. Diese Werkzeuge stellen einen mächtigen Zugang dar, um die entscheidenden technischen Details zu analysieren, sodass entweder die Konvergenz von bereits existierenden Methoden gezeigt werden kann, oder die Konstruktion von neuen numerischen Methoden motiviert wird, welche die identifizierten Schwierigkeiten überwinden. Ein weiteres Thema welches die unterschiedlichen Teile dieses Projekts verbindet sind Zielsignaturen für qualitative inverse Streumethoden. Die neuen inversen Streumethoden, welche wir entwickeln werden, benötigen die zuverlässige Simulation von ungewöhnlichen Eigenwertproblemen und die Simulation von Hilfsstreuproblemen mittels PML Methoden.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen
• Internationaler Bezug: Frankreich, Österreich, USA
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Dr. Maryna Kachanovska; Hugo Lourenco-Martins, Ph.D.; Professor Peter Monk, Ph.D.; Dr. Markus Wess