Struktur und Zufall in der Extremalen Kombinatorik

• Antragsteller: Professor Dr. Stefan Glock
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 542321564

Eines der faszinierendsten Phänomene in der Diskreten Mathematik, und auch anderen Gebieten der Mathematik, ist das Zusammenspiel von Struktur und Zufall, welches sich auf unterschiedlichste Arten manifestiert. Objekte, die von Natur aus rein deterministisch sind, zum Beispiel die Primzahlen, können dennoch ein äußerst zufälliges Verhalten zeigen. Die probabilistische Methode ist ein geradezu verblüffender Weg, um die Existenz einer bestimmten Struktur zu zeigen, nämlich indem ein geeigneter Wahrscheinlichkeitsraum definiert wird, in welchem die gewünschte Struktur mit positiver Wahrscheinlichkeit auftritt. Das Regularitätslemma erlaubt es, Graphen in einen strukturellen Anteil und einen zufälligen Anteil zu zerlegen. Das Verständnis dieses Zusammenspiels von Struktur und Zufall hat sich bereits als sehr fruchtbar erwiesen. Auf der anderen Seite gibt es immer noch viele Aspekte, die rätselhaft bleiben. Das übergreifende Ziel dieses Projektes ist es, einfach ausgedrückt, unser Verständnis dafür zu vertiefen, insbesondere in Bezug auf die Extremale Kombinatorik, und dadurch zentrale Probleme dieses Gebietes zu lösen. Die grundlegenden Fragestellungen, welche anhand einer Vielzahl von konkreten Problemen untersucht werden sollen, sind zum Beispiel: Was sind Schwellenwerte für das Auftreten bestimmter Teilstrukturen in Zufallsmodellen? Kann man sogenannte pseudozufällige Varianten solcher Resultate formulieren? Wie können strukturelle und probabilistische Methoden zusammengebracht werden, um Graphen in Teile zu zerlegen, die wichtige Eigenschaften erben, zum Beispiel hohen Zusammenhang? Kann eine Struktur auf perfekt balancierte Art und Weise zerlegt werden, oder gibt es immer eine gewisse Diskrepanz? Können wir Hypergraphen, die gewisse Schnitteigenschaften aufweisen, in einen zufälligen Anteil und einen strukturierten Anteil zerlegen? Zur Beantwortung dieser Fragen sollen nicht nur bedeutende Forschungsprobleme gelöst, sondern auch neue Methoden entwickelt werden, welche sich über dieses Projekt hinaus als nützlich erweisen. Dabei liegt der Hauptfokus auf der Extremalen und Probabilistischen Kombinatorik, es gibt aber auch signifikante Überlappungen mit anderen Bereichen wie der Strukturellen Graphentheorie und der Theoretischen Informatik.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen