Entwicklung eines finiten Elementes für finite elasto-plastische Deformationen auf Basis der Cosserat-Punkt-Theorie
Final Report Abstract
2.1 Darstellung der Ergebnisse, Fortschritte Ziel dieses Projektes war die Weiterentwicklung des in [1] vorgestellten so genannten Cosserat Punkt Elementes. Hierbei handelt es sich um eine im Jahr 2003 vorgestellte, dreidimensionale Finite Element Formulierung fth* große Deformationen mit viel versprechenden Eigenschaften und dem Nachteil, dass das Cosserat Punkt Element (CPE) nur dann sehr gute Ergebnisse liefert, wenn die Elementform im Netz der Ausgangskonfiguration möglichst quaderförmig ist. Die Weiterentwicklung beinhaltete im Einzelnen die folgenden Arbeitsschritte: Entwicklung und Implementierung einer zweidimensionalen CPE Formulierung, Untersuchung und Weiterentwicklung dieser zweidimensionalen CPE Formulierung für nicht rechteckformige Elemente, Übertragung der Ergebnisse aufdas dreidimensionale CPE und Entwicklung eines entsprechenden robusten Algorithmus' für das dreidimensional CPE ftir nicht quaderförmige Elemente, Entwicklung des CPE für ein allgemeines hyperelastisches Ogden Material und für inelastische Materialien. In einem ersten Schritt wurde das in [1] vorgestellte, 3D CPE für den zweidimensionalen, ebenen Verzerrungszustand hergeleitet, implementiert und getestet. Wie erwartet, ergaben die Testergebnisse den bereits im Dreidimensionalen beobachteten und aus der Theorie heraus zu erwartenden Verlust der Lösungsqualität ftir verzerrte Netzgeometrien. Für eine Weiterentwicklung des CPE müssten dann die Gleichungen verallgemeinert hergeleitet werden. Die später genauer erläuterte Bounding Box Idee lieferte eine Methode, mit der sich das CPE flir den zweidimensionalen Fall erweitem ließ ftir allgemeine Netzgeometrien. Das so verbesserte 2D CPE lieferte auch in verschiedenen Tests deutlich verbesserte Ergebnisse gegenüber der ursprünglichen Version. Details zu Herleitung und Ergebnisse zu verschiedenen Tests wurden in [2] veröffentlicht. Basierend aufden Erkenntnissen ftir das 4-Knoten CPE in zwei Dimensionen wurde das CPE für verzerrte Netzgeometrien in drei Dimensionen entwickelt, weiterhin basierend aufder Bounding Box Idee. Alle gmndsätzlichen Vorgehensweisen ftir das 2D CPE wurden bei der Entwicklung des 3D CPE beibehalten. Zusätzlich erforderten aber verschiedene Effekte, die im 2D Fall noch keine Rolle gespielt hatten, im 3D Fall die Entwicklung weiterer, neuer Ideen und Methoden. Die Entwicklung des verallgemeinerten 3D CPE konnte erfolgreich abgeschlossen werden. Das verallgemeinerte 3D CPE zeigt gegenüber der ursprünglichen CPE FormuHerunge deutlich verbesserte Eigenschaften, besonders für verzerrte Netzgeometrien. Details zu Herleitung und Ergebnisse zu verschiedenen Tests fmden sich in der Dissertation von E.F.I. BOERNER [3], die Ende 2008 veröffentlicht wird, eine weitere Veröffentlichung [4] ist in Vorbereitung. Weiterhin wurde das CPE ftir die Verwendung eines allgemeinen, hyperelastischen OGDEN Materials erweitert, diese Weiterentwicklung wird in [5] genauer erläutert. Bis aufden letzten Punkt (die Weiterentwicklung des CPEs für inelastische Materialien) konnten also alle im Rahmen dieses für eine Dauer von drei Jahren angesetzten und für zwei Jahre geforderten Projektes vorgeschlagenen Arbeitsschritte erfolgreich imigesetzt werden. 2.2 Ausblick auf künftige Arbeiten, Beschreibung möglicher Anwendungen Die aktuell existierenden CPE Formulierungen sind ftir allgemeine, hyperelastische Materialien bei großen Deformationen in zwei und drei Dimensionen einsetzbar. Erkenntnisse aus der Formuliemng, die auf einem Split der Verzerrungsenergie, der Deformationen und Spannungen in einen homogenen und einen inhomogenen Teil beruht, haben bereits Eingang in weitere Veröffentlichungen im Bereich der Finite Element Technologie gefimden [6]. Künftige Arbeiten können diese Idee weiter ausbauen. Für das CPE selbst ist eine Weiterentwicklung für inelastische Materialien der logische nächste Schritt. Die Cosserat Punkt Elementformulierung oder Erkenntnisse aus deren Weiterentwicklung können injedem wissenschaftlichen oder kommerziellen Finite Element Analysis Programm für Kontinuumselemente für große Deformationen mit hohen Anfordemngen an Genauigkeit, Robustheit, Stabilität und Effizienz eingesetzt werden.
Publications
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E.F.I. BOERNER, D.S. MUELLER - HOEPPE, S. LOEHNERT, P. WRIGGERS: A finite element formulation based on the theory ofa Cosserat point - extension to Ogden Material, Proceedings III European Conference on Computational Mechanics, Lissabon, (2006).
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E.F.I. BOERNER, P. WRIGGERS, M.B. RUBIN: A finite element formulation based on the theory of a Cosserat point, PAMM (Proceedings ofthe Annual Meeting ofthe " Gesellschaft fUr Angewandte Mathematik und Mechanik e. V. ", Luxemburg), Volume 5, Issue 1: 379 - 380. (Siehe online unter: doi: 10.1002/panim.200510166)
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E.F.I. BOERNER, P. WRIGGERS: A finite element formulation based on the Cosserat point theory, PAMM (Proceedings ofthe Annual Meeting ofthe "Gesellschaft fiir Angewandte Mathematik und Mechanik e. V. ", Berlin), Volume 6, Issue 1:213-214. (Siehe online unter: doi: 10.1002/pamm.200610087)
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E.F.I. BOERNER, P. WRIGGERS: A macro-element for incompressible finite deformations based on a volume averaged deformation gradient. Computational Mechanics, 42: 407-416 (2008).
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E.F.I. BOERNER, P. WRIGGERS: A new fmite element formulation based on the Cosserat point theory, Proceedings ofthe VIII.' US National Congress on Computational Mechanics, US Association for Computational Mechanics, Austin, Texas, USA (2005).
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E.F.I. BOERNER, P. WRIGGERS: An Average Deformation Gradient Macro Element for Incompressible Finite Elastic Deformations, Proceedings ofthe IX.' US National Congress on Computational Mechanics, US Association for Computational Mechanics, San Francisco, Califomia, USA (2007).
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E.F.I. BOERNER, S. LOEHNERT, M.B. RUBIN, P. WRIGGERS: A new finite element formulation based on the theory ofa Cosserat point. Proceedings XXI Intemational Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Warszaw, (2004).
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E.F.I. BOERNER, S. LOEHNERT, P. WRIGGERS: A new finite element based on the theory ofa Cosserat point - extension to initially distorted elements for 2D plane strain. International Joumal for Numerical Methods in Engineering, 1: 454 ¿ 472 (2007).
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S. LOEHNERT, E.F.I. BOERNER, M.B. RUBIN, P. WRIGGERS: Response of a nonlinear elastic general Cosserat brick element in simulations typically exhibiting locking and hourglassing. Computational Mechanics, 36: 255 - 265 (2005).
