Nichtklassische Elektromechanik II
Final Report Abstract
Die Fragestellungen des gesamten Forschungsvorhabens „Nichtklassische Elektromechanik" resultieren u. a. aus Problemen der mathematischen Modellierung von Linear-Direktantrieben auf der Basis von Asynchronmotoren mit unstrukturiertem Sekundärteil hinsichtlich ihrer Dynamik und Steuerung. Die entsprechenden theoretischen Untersuchungen stützen sich dabei wesentlich auf differenzialgeometrische Begriffe und Methoden. Der nichtklassische Charakter solcher elektromechanischen Antriebssysteme äußert sich z.B. in einer Flussverkettung, die i. A. außer vom Ort auch von dessen zeitlicher Änderung (Geschwindigkeit) abhängen kann, was einen Verstoß gegen die quasistationäre Näherung der Maxwell-Theorie in Form der Kirchhoff-Theorie darstellt. Mit Blick auf die Entwicklung entsprechender Steuerkonzepte mittels eines Passivity-Based-Control-Design ergibt sich die Frage nach der Existenz dafür erforderlicher energetischer Zustandsfunktionen, nämlich einer Lagrange- und einer Dissipationsfunktion. Hierfür konnten die klassischen Helmholtz-Bedingungen für die Existenz eines kinetischen Potenzials 1. Ordnung jeweils unter Verwendung holonomer als auch anholonomer Koordinaten verallgemeinert werden. Darüber hinaus zeigt sich, dass diese energetischen Zustandsfunktionen nun nicht mehr quadratisch in den generalisierten Geschwindigkeiten sind, so dass die Riemannsche Geometrie als differenzialgeometrische Grundlage für das Control-Design durch die Finsler-Geometrie ersetzt werden muss. Das gesuchte Ljapunov-stabile Steuergesetz für vollständig aktuierte Systeme als Verallgemeinerung des „augmented PD"-Steuergesetzes folgt dann durch Projektion aus dem (n + 1)-dimensionalen Ereignisraum (Finsler-Raum) in den n-dimensionalen Konfigurationenraum. Das gilt sowohl unter Verwendung von holonomen als auch anholonomen Koordinaten. Unter Verzicht auf den differenzialgeometrischen - und damit auch ganz allgemein gültigen - Kalkül wurde außerdem ein weiteres Ljapunov-stabiles Steuerkonzept direkt im Konfigurationenraum generiert, das ebenfalls eine Verallgemeinerung der „augmented PD" Steuerung darstellt. Der Modellierung von Hysterese in elektromechanischen Energiewandlern mit Ferromagnetica ist besondere Aufmerksamkeit gewidmet worden, wobei allerdings unter Verzicht auf gesamtphysikalische Energiebilanzen lediglich ein synthetisch generiertes Modell entwickelt werden konnte, dass sich stark an das gängige Jiles-Atherton-Modell anlehnt. Die im Vorhaben entwickelten Methoden und Modelle wurden durchgängig an ausgewählten Beispielen getestet. Weiterführende Arbeiten zur Verallgemeinerung der Helmholtz-Bedingungen: • Wie lauten die Helmholtz-Bedingungen bei Verzicht auf eine direkte Zuordnung der gegebenen Bewegungsdifferenzialgleichungen zu den Lagrangeschen Gleichungen? Diese Fragestellung ist möglicherweise äquivalent zu einer koordinateninvarianten Formulierung der Helmholtz-Bedingungen. • Wie lauten die verallgemeinerten Helmholtz-Bedingungen, wenn der Zusammenhang zwischen holonomen und nichtholonomen Geschwindigkeitskoordinaten nicht bekannt ist. Eine mögliche Antwort auf diese Fragestellungen könnte u. U. wie folgt gesucht werden: Verallgemeinerungen in Bezug auf Euler-Lagrange-Systeme, d.h. die Existenz einer Lagrange- bzw. Hamilton-Funktion zur Darstellung von Bewegungsgleichungen mit Hilfe dieser energetischen Zustandsfunktionen, führen auf ein neues frame work, die sogenannten Birkhoff-Gleichungen [Santilli R.M.: Foundations of Theoretical Mechanics II, Birkhoffian Generalization of Hamiltonian Mechanics. Springer-Verlag, New-York Heidelberg Berlin, 1983]. In diesem Zusammenhang spielen transformationstheoretische Fragen hinsichtlich einer indirekten Lagrangeschen Darstellung von Bewegungsgleichungen eine entscheidende Rolle. Zwischen holonomen und anholonomen Koordinaten wird dann nicht mehr unterschieden. Auf diesem Hintergrund könnte dann auch eine entsprechende Steuertheorie konzipiert werden. Weiterführende Arbeiten zum PBC-Design: • Wie ist das PBC-Design für singulare Zustände eines nichtklassischen elektromechanischen Systems zu modifizieren? • Fortsetzung der Arbeiten zum PBC-Design für nichtholonome Geschwindigkeitskoordinaten mit dem Ziel, die Ergebnisse zu publizieren. • PBC-Design für Euler-Lagrange-Systenie mit nichtquadratischen energetischen Zustandsfunktionen und in den Geschwindigkeiten nichtlinearen Nebenbedingungen. • Übertragung der Ergebnisse zum PBC-Design für fully-actuated systems mit nichtquadratischen energetischen Zustandsfunktionen auf underactuated systems. • Geometrisierung der Bewegung gesteuerter dynamischer Systeme mit nichtquadratischen energetischen Zustandsfunktionen in verallgemeinerten affin zusammenhängenden Räumen. Mögliche Anwendungen: Anwendungsmöglichkeiten der erzielten Ergebnisse bestehen zum Beispiel beim Entwurf elektromechanischer Antriebe, insbesondere von Lineardirektantrieben auf der Basis von Asynchronmotoren mit unstrukturiertem Sekundärteil im Maschinenbau, Werkzeugmaschinenbau, in der Schienenfahrzeugtechnik, bei Ultrapräzisions-Positioniermaschinen (Nanometermessmaschinen) oder bei der Auslegung mehrdimensionaler Piezoantriebe. Die kontinuierliche Unwuchtverstellung an Vibrationsantrieben auf der Basis elektromechanischer Wandler bietet eine weitere Anwendungsmöglichkeit für die im Vorhaben entwickelten Konzepte einer einheitlichen mathematischen Modellierung zur Auslegung und zur Steuerung.
Publications
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Differential-Geometric Methods in Multibody Dynamics and Control. 29th Mechanism & Robotics Conference, ASME 2005 International Design Engineering Technical Conferences, 22.-28.09.2005, Long Beach, California, USA
Maißer, P.
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Differential-Geometric Methods in Multibody Dynamics and Control. The George W. Woodruff School of Mechanical Engineering, Georgia Institute of Technology, Atlanta USA. 23.09.2005
Maißer, P.
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Lyapunov-stable Control of Mechatronic Systems. Proc. IMechE, Part 1: J. Systems and Control Engineering 2005, 219, pp. 173-185
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Mathematical modeling of mechatronic systems. Multibody Dynamics 2005, Advances in computational Multibody Dynamics, ECCOMAS Thematic Conference, Madrid, Spain Juni 2005
Maißer, P.
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Multi-body dynamics and electromechanics: from a differential-geometric point of view. Proc. IMechE, Part K: J. Multi-body Dynamics 2005, 219 (K2), 147-158
Maißer P.
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A Generalization of the Helmholtz-Conditions for the Existence of a First-Order Lagrangian. GAMM Jahrestagung, Berlin, 28.03.2006
Kielau, G., Maißer, P.
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A Generalization of the Helmholtz-Conditions for the Existence of a First-Order Lagrangian. Proceedings GAMM 2006, Proc. Appl. Math. Mech. 6, 815-816 (2006)
Kielau, G., Maisser, P.
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A Generalization ofthe Helmholtz-Conditions for the Existence of a First-Order Lagrangian. ZAMM 86, No. 9, 722 - 735 (2006)
Kielau, G., Maisser, P.
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Mathematical Modeling of a Spherical Induction Motor, MULTIBODY DYNAMICS 2007, ECCOMAS Thematic Conference, Milano, Italy, 25-28 June 2007
A. Müller
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Mathematical Modeling of a spherical induction motor. Multibody Dynamics 2007, ECCOMAS Thematic Conference, C.L. Bolasso, P. Maserati, L. Trainelli (eds.), Milano, Italy, 25 - 28 June 2007
Müller, A., Maißer, P.
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A Passivity-based Control of Euler-Lagrange Systems with a non-quadratic Lagrangian. ZAMM 88, 12, 982 - 992 (2008)
Jungnickel, U., Kielau, G., Maisser, P., Müller, A.
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Representation of Hysteresis in Discrete Electro-Magneto-Mechanical systems. XXII ICTAM, 25-29 August 2008, Adelaide Australia
Müller, A.
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A Generalization of the Helmholtz-Conditions for the Existence of a First-Order Lagrangian using nonholonomic velocities. ZAMM 89, No. 1, 44 - 53 (2009)
Kielau, G., Jungnickel, U., Maisser, P., Müller, A.
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Ergebnisse des Projektes „Nichtklassische Elektromechanik". Institut für Mechatronik Chemnitz, Ergebnisbericht Januar 2009
Kielau, G., Maißer, P.
