Inertial Manifolds of Nonautonomous Evolutionary Equations: Smoothness and Discretization

• Applicant: Professor Dr. Christian Pötzsche
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2004 to 2007
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5436515

... Bislang wurde die Theorie der Inertialmannigfaltigkeiten weitgehend für autonome Gleichungen entwickelt, bei denen die Zeitvariable nicht explizit auf der rechten Seite der Gleichung auftaucht. Dies ist sowohl aus inner-mathematischer Sicht, als auch in Hinblick auf Anwendungen unbefriedigend und vielfach unrealistisch, falls etwa zeitlich veränderliche Systemparameter berücksichtigt werden müssen. Daher soll sich das vorliegende Forschungsvorhaben zunächst mit folgendem Punkt beschäftigen: Verallgemeinerung der existenten Theorie der Inertialmannigfaltigkeiten auf nichtautonome abstrakte Evolutionsgleichungen, also auf Probleme, die explizit von der Zeit abhängen. Die Untersuchung des qualitativen Verhaltens abstrakter Evolutionsgleichungen erfolgt nun in der Praxis numerisch, da es in allen relevanten Fällen unmöglich ist, Lösungen explizit zu bestimmen. Aus diesem Grund werden die betrachteten Systeme Zeit-diskretisiert und durch Differentialgleichungen ersetzt. Dies führt auf die verbleibenden beiden Punkte meines Vorhabens: Während abstrakte Evolutionsgleichungen Differentialgleichungen sind, d.h. kontinuierliche Zeit besitzen, wollen wir eine entsprechende Theorie für unendlich-dimensionale Differenzengleichungen entwickeln, wobei die Zeit diskret ist. Unter Benutzung dieser diskreten Ergebnisse, beabsichtigen wir, das Verhalten von Inertialmannigfaltigkeiten unter Zeit-Diskretisierung mit einem numerischen Verfahren zu studieren. Als Ziel sollen hierbei Konvergenzresultate für die approximativen Inertialmannigfaltigkeiten bewiesen werden, falls die betrachteten Schrittweiten klein sind.

• DFG Programme: Research Fellowships
• International Connection: USA
• Cooperation Partner: Professor Dr. George R. Sell