Nichtlineare Stabilität bei kinetischen Modellen aus der Astrophysik und Plasmaphysik
Final Report Abstract
Galaxien oder Plasmen lassen sich als große Ensembles von Teilchen beschreiben, welche über Kraftfelder wechselwirken, die das Ensemble kollektiv erzeugt. Unter geeigneten Modellannahmen erfüllt die Dichte des Ensembles im Phasenraum eine Kontinuitätsgleichung, die mit den Feldgleichungen für die Wechselwirkung gekoppelt wird. Die resultierenden nichtlinearen Systeme partieller Differentialgleichungen wie z . B . das Vlasov-Poisson-, Vlasov-Maxwell- oder Einstein-Vlasov-System zählen zu den kinetischen Gleichungen. In der Astrophysik wie in der Plasmaphysik ist die Stabilität von Gleichgewichtslösungen von zentralem Interesse. Ziel des Projekts war die Untersuchung von Methoden der nichtlinearen Stabilitätsanalyse, die auf Energie-Casirnir-Funktionalen beruhen. Dabei wurden folgende Fortschritte erzielt: Die Existenz und Stabilität neuer, flacher Gleichgewichtszustände des Vlasov-Poisson-Systems wurde bewiesen, welche in der Astrophysik als Modelle für "flache" Galaxien benutzt werden, bei denen sich im Gegensatz zu ellipsoidalen Galaxien der Großteil der Sterne in einer galaktischen Ebene konzentriert. In der Astrophysik wird intensiv diskutiert, ob solche Galaxien typischerweise von einer Halo aus bislang nicht direkt beobachtbarer dunkler Materie umgeben sind. Für ein geeignetes mathematisches Modell, nämlich ein Vlasov-Poisson-System mit zwei Teilchensorten, den Sternen und den Dunkle-Materie-Teilchen, konnte ebenfalls und erstmalig die Existenz und Stabilität von Gleichgewichtslösungen gezeigt werden, eine zu Projektbeginn nicht vorhergesehene Entwicklung, welche die Stärke der eingesetzten mathematischen Methoden zeigt. Ein weiterer Fortschritt war der Stabilitätsnachweis von sphärisch symmetrischen, stationären Lösungen mit einem Vakuumbereich im Zentrum. Diese Zustände spielen eine wichtige Rolle bei der (bislang numerischen) Untersuchung des Gravitationskollapses beim Einstein-Vlasov-System. Aus astrophysikalischer Sicht interessant wurden diese kugelschalenförrnigen Zustände durch den Nachweis, dass man in ihrem Zentrum eine fixe Punktmasse plazieren kann und immer noch stabile stationäre Zustände erhält. Derartige Konfigurationen werden im Rahmen numerischer Simulationen in der Astrophysik als Newtonsche Näherungsmodelle für Galaxien mit einem zentralen schwarzen Loch verwendet. Die mathematische Methode bei den bislang genannten Resultaten beruht darauf, ein geeignetes Energie-Casimir-Funktional unter Nebenbedingungen zu minimieren. Die minimierenden Elemente sind dann stabile stationäre Lösungen des gegebenen Systems. Bereits bei gewissen in der Astrophysik benutzten nichtrelativistischen Modellen wie insbesondere im relativistischen Fall stößt dieser auf globale Minima des Energie-Casimir-Funktionais abzielende Variationszugang an Grenzen. Mit einem im Verlauf des Projekts entwickelten neuen Zugang zu Stabilitätsfragen bei kinetischen Gleichungen, der die symplektische Struktur dieser Gleichungen stärker ausnutzt, konnte die Stabilität des in der Astrophysik bekannten King-Modells ebenso gezeigt werden wie die Stabilität von stationären Lösungen des relativistischen Vlasov-Poisson-Systems. Diese Ergebnisse stellen einen vielversprechenden Ausgangspunkt für Stabilitätsuntersuchungen entsprechender Modelle im Rahmen der allgemeinen Relativistätstheorie dar.
Publications
- Existence and stability of static shells for the Vlasov-Poisson System with a fixed central point mass. Math. Proc. Cambr. Phil. Soc.
A. Schulze
- Existence of axially symmetric solutions to the Vlasov-Poisson system depending on Jacobi's integral
A. Schulze
- Flat galaxies with dark matter halos - existence and stability
R. Firt, G. Rein, M. Seehafer
- Nonlinear stability of Newtonian galaxies and stars from a mathematical perspective. In: Nonlinear Dynamics in Astronomy and Physics, Annals of the New York Academy of Sciences 1045, 103-119 (2005)
G. Rein
- A numerical investigation of the stability of steady states and critical phenomena for the spherically symmetric Einstein-Vlasov system. Class. Quantum Grav. 23, 3659-3677 (2006)
H. Andréasson, G. Rein
- Existence and stability of static shells for the Vlasov-Poisson system. Analysis 26, 527-543 (2006)
A. Schulze
- Stability of disk-like galaxies-—Part I: Stability via reduction. Analysis 26, 507-525 (2006)
R. Firt, G. Rein
- A non-variational approach to nonlinear stability in stellar dynamics applied to the King model. Commun. Math. Phys. 271, 489-509 (2007)
Y. Guo, G. Rein
- Collisionless Kinetic Equations from Astrophysics -The Vlasov-Poisson System. Handbook of Differential Equations, Evolutionary Equations. Vol. 3. Eds. C. M. Dafermos and E. Feireisl, Elsevier (2007)
G. Rein
- Global existence and nonlinear stability for the relativistic Vlasov-Poisson system in the gravitational case. Indiana University Math. J. 56, 2453-2488 (2007)
M. Hadzic, G. Rein
- On the steady states of the spherically symmetric Einstein-Vlasov system. Class. Quantum Grav. 24, 1809-1832 (2007)
H. Andréasson, G. Rein
- Stability of disk-like galaxies - Part II: The Kuzmin disk. Analysis 27, 405-424 (2007)
R. Firt
