Numerische Methoden für parabolische Multiskalenprobleme

• Antragsteller: Dr. Roland Maier
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 545165789

Viele physikalische Phänomene, wie beispielsweise Diffusionsprozesse in stark heterogenen Medien, sind durch Effekte auf unterschiedlichen Skalen charakterisiert. Diese Phänomene werden typischerweise durch partielle Differentialgleichungen mit stark oszillierenden Koeffizienten beschrieben. Um zeitaufwendige und möglicherweise nicht durchführbare globale Rechnungen auf sehr feinen Skalen zu vermeiden, werden sogenannte Multiskalenmethoden verwendet. Diese Methoden operieren auf groben Skalen, wobei Informationen auf feinen Skalen in geeigneter Weise lokal in die Konstruktion mit einfließen. Die Behandlung von Multiskalenproblemen mit stark variierenden Koeffizienten bezüglich der Ortsvariable ist gut erforscht. Die Konstruktion von Methoden höherer Ordnung unter minimalen Regularitätsbedingungen gestaltet sich allerdings für zeitabhängige Gleichungen schwierig. Darüber hinaus sind klassische Multiskalenmethoden nicht mehr effizient oder liefern sogar unbrauchbare Ergebnisse, falls zusätzlich starke Oszillationen bezüglich der Zeit eine Rolle spielen. Dieses Projekt beschäftigt sich mit der Entwicklung, Implementierung und Analyse von effizienten Multiskalenmethoden für lineare parabolische Gleichungen. Der Fokus liegt dabei auf der Konstruktion von Methoden höherer Ordnung sowie Methoden für stark oszillierende Koeffizienten in Ort und Zeit. Die wichtigsten Aspekte der Methoden sind Lokalität, Parallelität und globale Kommunikation auf groben Skalen. Anstatt aufwendige globale Probleme auf feinen Skalen zu lösen, werden lokal definierte zeitabhängige Probleme gelöst. Diese Probleme sind unabhängig voneinander, was parallele Berechnungen ermöglicht. Außerdem sind die lokalen Lösungen nur auf groben Skalen miteinander gekoppelt. Die entwickelten Methoden sollen theoretisch analysiert und numerisch validiert werden. Außerdem wird die Verwendung von Deep-Learning-Strategien zur weiteren Verbesserung der Methodik untersucht. Wichtig sind in diesem Kontext zuverlässige Fehlerschätzer, die es ermöglichen, den Fehler der adaptierten Verfahren zu bewerten und die Konstruktion falls nötig entsprechend anzupassen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen