Geometrie und Algorithmik von periodischen Punktmengen

• Applicant: Professor Dr. Achill Schürmann
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2005 to 2011
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5453356

• Final Report Year: 2011

Final Report Abstract

Gitter und allgemeiner periodische Punktmengen sind allgegenwärtige Objekte in der Mathematik und ihren Anwendungen. Häufig werden sie als diskrete Modelle für kompliziertere geometrische Räume verwendet. Ein Ziel unseres Forschungsvorhabens war es, ein besseres Verständnis für optimale periodische Punktmengen zu gewinnen. Für verschiedene geometrische Fragestellungen, wie z.B. das klassische Überdeckungs- oder das Quantizer-Probleme, aber auch für neuere Fragen der Energieminimierung haben wir neue bestbekannte Konfigurationen finden können, sowie neue bestbekannte Schranken. Die verwendeten computergestützten Methoden und einige der erstellten Computerprogramme lösen dabei “Standardprobleme”, die auch für andere Gebiete, wie die mathematische Optimierung, von Interesse sind. Dies trifft insbesondere auf die Symmetrie ausnutzenden polyedrischen Rechnungen zu, die wir bei der Konstruktion optimaler Konfigurationen eingesetzt haben, und auf die Techniken der semidefiniten Programmierung, die wir für beweisbare Schranken optimaler Strukturen eingesetzt haben.

Publications

• A generalization of Voronoi’s reduction theory and its application. Duke Math. J., 142 (2008), 127–164
  Mathieu Dutour Sikirić, Achill Schürmann und Frank Vallentin
  
• New upper bounds for kissing numbers from semidefinite programming. Journal of the AMS, 21 (2008), 909-924
  Christine Bachoc und Frank Vallentin
  
• Complexity and algorithms for computing Voronoi cells of lattices. Math. Comp., 267 (2009), 1713–1731
  Mathieu Dutour Sikirić, Achill Schürmann und Frank Vallentin
  
• Computational Geometry of Positive Definite Quadratic Forms. University Lecture Series, AMS, Providence, RI, 2009
  Achill Schürmann
  
• Fourier analysis, linear programming, and densities of distance avoiding sets in Rn. J. Eur. Math. Soc. 12 (2010), 1417-1428
  Fernando Mário de Oliveira Filho und Frank Vallentin
  
• Perfect, strongly eutactic lattices are periodic extreme. Advances in Mathematics, 225 (2010), 2546–2564
  Achill Schürmann