Robuste Adaptivität für nichtlineare partielle Differentialgleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Gregor Gantner
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 545527047

Partielle Differentialgleichungen (PDEs) sind bei der Modellierung von Problemen der realen Welt allgegenwärtig. Die exakte Lösung einer solchen Gleichung kann fast nie in geschlossener Form angegeben werden, sodass numerische Verfahren erforderlich sind, um sie zumindest zu approximieren. Das ultimative Ziel eines solchen numerischen Verfahrens ist die Berechnung einer diskreten Approximation mit einem Fehler unterhalb einer gewünschten Toleranz unter Aufwendung minimaler Rechenkosten. Zu diesem Zweck ist es notwendig, den Gesamtfehler genau zu quantifizieren und seine verschiedenen Komponenten zu identifizieren. Die erste wesentliche Komponente ist der Diskretisierungsfehler, der sich aus der Approximation der gesuchten PDE-Lösung durch Funktionen in einem endlich-dimensionalen Raum ergibt, typischerweise stückweise Polynome eines bestimmten Grades auf einem Netz des betrachteten Gebietes. Um diese Fehlerkomponente zu verringern, kann man den verwendeten Raum z. B. durch Netzverfeinerung anreichern. Während es im Falle einer glatten Lösung ausreichen kann, das aktuelle Netz gleichmäßig zu verfeinern, müssen im Falle einer nichtglatten Lösung Singularitäten lokal aufgelöst werden, um minimale Rechenkosten für das Verfahren zu gewährleisten. Diskretisierungen von nichtlinearen PDEs führen natürlicherweise zu nichtlinearen diskreten Systemen, die nicht exakt gelöst werden können und daher (iterativ) linearisiert werden müssen. Daraus ergibt sich die zweite wesentliche Fehlerkomponente, der Linearisierungsfehler, der durch Anwendung eines zusätzlichen Schrittes des verwendeten iterativen Linearisierungverfahrens verringert werden kann. Schließlich können auch die Lösungen der linearisierten diskreten Systeme nur näherungsweise berechnet werden, da ihre (bis auf Rundungsfehler) exakte Berechnung durch einen direkten Löser unverhältnismäßig teuer wäre. Die entsprechende dritte wesentliche Fehlerkomponente, der algebraische Fehler, kann typischerweise durch einen zusätzlichen Schritt des verwendeten iterativen algebraischen Lösers verringert werden. Andere Fehlerkomponenten, wie numerische Quadraturfehler oder Rundungsfehler, können vorhanden sein, werden aber vernachlässigt. Um das angestrebte Endziel zu erreichen, ist es entscheidend, alle beteiligten Fehlerkomponenten zu balancieren. Da keine dieser Komponenten exakt und/oder kostengünstig berechenbar ist, muss ein praktischer numerischer Algorithmus sie akkurat abschätzen und dann die entsprechenden a posteriori berechenbaren Fehlerschätzer balancieren. Unser Forschungsprojekt schlägt neue adaptive Diskretisierungs-/Linearisierungs-/algebraische Lösungsalgorithmen mit garantierten und robusten Fehlerschätzungen (von gleicher Qualität für jeden Polynomgrad und jede Stärke der Nichtlinearität) und Beweise für Konvergenz, Kontraktion, und Optimalität bezüglich der Freiheitsgrade und bezüglich der Gesamtkosten der numerischen Simulation für mehrere Klassen nichtlinearer Modellprobleme vor.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Partnerorganisation: Agence Nationale de la Recherche / The French National Research Agency
• Kooperationspartner: Professor Martin Vohralík