Konstruktion von stochastischen Dynamiken in kontinuierlichen Vielteilchensystemen und Herleitung von deren Skalierungslimiten
Final Report Abstract
In diesem Projekt haben wir Probleme der Gleichgewichtsdynamik kontinuierlicher, interagierender Teilchensysteme behandelt. Zunächst stand das Studium von N-Teilchen Dynamiken im Vordergrund. Im Falle der N-Teilchen-Gradienten stochastischen Dynamik in Quadern A mit reflektierender Randbedingung konnten wir für singuläre Wechselwirkungspotentiale die stochastische Dynamik für alle Startkonfigurationen konstruieren, bei denen sich genau ein Teilchen in dA befindet, vorausgesetzt dA ist an dieser Stelle lokal glatt. Diese Ergebnisse sind in [FG07] erschienen. Im Falle der N-Teilchen Langevin-Dynamik in Quadern mit periodischen Randbedingungen konnten wir die stochastische Dynamik für beschränkte Potentiale, die beschränkte, schwache Ableitungen besitzen, für viele Anfangsverteilungen konstruieren. Die entsprechenden Resultate sind in [CG08a] veröffentlicht worden. Die Erweiterung auf eine größere Klasse von Potentialen steht kurz vor dem Abschluss. Ausgehend von der im Projekt konstruierten N-Teilchen Langevin-Dynamik konnte für eine große Klasse von Potentialen, welche physikalisch relevante Wechselwirkungspotentiale enthält, die Langevin-Dynamik von unendlich vielen Teilchen im R^n konstruiert werden. Dabei wurden Methoden entwickelt, von denen wir erwarten, dass sie beim Studium von stochastischen Dynamiken auf Konfigurationsräumen von Nutzen sein werden. Die erzielten Ergebnisse sind in [CG08b] ausgearbeitet und zur Publikation eingereicht. Im Falle der Gradienten-stochastischen Dynamik wurde die Existenz der Dynamik eines markierten Teilchens im R^d, das mit einer Umgebung von unendlich vielen wechselwirkenden Teilchen interagiert, mathematisch rigoros gezeigt. Auch diese Konstruktion konnte für physikalisch relevante Potentiale durchgeführt werden. Die entsprechenden Resultate sind in [FG08b] zu finden und ebenfalls zur Publikation eingereicht.
Publications
- Strong Feller properties for distorted Brownian motion with reflecting boundary condition and an application to continuous N-particle systems with singular interactions. J. Funct. Anal, 246(2):217-241, 2007.
T. Fattler and M. Grothaus
- Construction of N-particle Lagevin dynamics for H1°°-potentials via generalized Dirichlet forms. Potential Anal, 28(3), 261-281, 2008.
F. Conrad and M. Grothaus
