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SFB 647:  Space - Time - Matter: Analytic and Geometric Structures

Subject Area Mathematics
Physics
Term from 2005 to 2016
Project identifier Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5486209
 
Final Report Year 2018

Final Report Abstract

Ziel des auf dem Gebiet der mathematischen Physik arbeitenden Sonderforschungsbereichs (SFB) 647 war es, Synthesen zwischen mathematischen und physikalischen Problemlösungen zu erzielen. Seine Namensgebung geht auf das berühmte Buch „Raum, Zeit, Materie” des Mathematikers Hermann Weyl zurück. In diesen Vorlesungen von 1917 über die gerade neu entstandene Allgemeine Relativitätstheorie (ART) versucht Weyl die gegenseitige Durchdringung philosophischen, mathematischen und physikalischen Denkens darzulegen. Die großartige Darstellung der ART, einschließlich ihrer grundlegenden analytischen und geometrischen Strukturen in genauer Korrespondenz mit den physikalischen Prinzipien, blieb auch noch knapp hundert Jahre später richtungsweisend für die Arbeit dieses SFB. Dies umso mehr, als Weyl bereits einen ersten Vorschlag zur Vereinheitlichung aller damals bekannten Naturkräfte machte, und sogar schon auf das Problem der Quantengravitation hinwies. Damit entdeckte er die enge Verwandtschaft zwischen der Gravitationstheorie und den Eichtheorien. Die Suche nach deren Verbindung in einer immer noch nicht erstellten „Theorie von Allem”, also einer Weltformel, trieb letztlich auch, direkt oder indirekt, die Forschungsarbeit dieses SFB an. Natürlich ist der heutige Problemkreis unverhältnismäßig viel größer als zur Zeit von Weyl. Der SFB 647 hat gleichwohl sein Ziel der eingangs erwähnten Synthese in wesentlichen Teilen verwirklicht, wenn auch notwendigerweise nur in Unterbereichen des großen Gesamtthemas. Zu den wichtigsten Leistungen zählen die folgenden. In sehr viel ausführlicherer Form sind viele essentielle Ergebnisse in einem begleitenden Essay–Band dargestellt. 1. Die unterschiedlichen Raumzeiten der ART sind Mannigfaltigkeiten mit Lorentz–Metriken, deren Holonomie–Klassifikation ein seit langem offenes Problem war. Es wurde nun in einer Reihe von Untersuchungen für geschlossene Raumzeiten gelöst. 2. Das Verhalten des Universums nahe der Urknall–Singularität kann durch eine von Bianchi konstruierte Klasse von „taumelnden” Raumzeiten modelliert werden. Es war jedoch bisher nicht klar, wie es sich schließlich seinem Ursprung nähert. Einer 40 Jahre alten Vermutung der Mathematiker Belinskij, Khalatnikov, Lifschitz (BKL) zufolge sollte sich die Annäherung in einer mathematisch „zahmen” Form vollziehen. Diese Vermutung ist bewiesen worden. 3. Eine 1997 aufgestellte Vermutung von Juan Maldacena, die sogenannte AdS/CFT– Korrespondenz, liefert einen völlig neuen Lösungsansatz zur Vereinheitlichung von Gravitation und Eichtheorien. In gewissen idealisierten integrablen, also exakt lösbaren, Sonderfällen konnten Wissenschaftler des SFB diese Vermutung stark untermauern. Die Entdeckung solcher integrabler Strukturen in Streuamplituden von Eichtheorien sticht hierbei besonders heraus. 4. Zu den Modellen der in vielen Vereinheitlichungsansätzen relevanten Stringtheorie gehören bestimmte Calabi–Yau-Mannigfaltigkeiten. Diese sind jedoch durch die physikalischen Daten nicht eindeutig bestimmt, weshalb Klassifikationsmethoden der algebraischen Geometrie herangezogen werden müssen. Hier wurden einige bemerkenswerte Resultate erzielt. 5. Zu den wichtigsten Operatoren der mathematischen Physik gehört der Dirac-Operator. Seine Spektraltheorie liefert Invarianten, die für Mathematik und Physik große Bedeutung haben, insbesondere durch die Indextheorie. Es wurden sehr gute Ergebnisse erzielt, sowohl für Raumzeiten wie für offene Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Hervorstechend ist der Beweis der Fried-Vermutung, die 1986 formuliert wurde. Die Frage nach den Grundstrukturen einer mathematisch und physikalisch konsistenten vereinheitlichten Theorie der Welt konnte trotz dieser vielversprechenden Resultate noch nicht beantwortet werden. Sie bleibt eine hinreißend spannende Herausforderung für die Zukunft.

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