Zur theoretischen und praktischen Fundierung von Kernel-Methoden und Gaußschen Prozessen zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen

• Antragsteller: Dr. Aras Bacho
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 549075133

Dieser Forschungsvorschlag widmet sich der Entwicklung und mathematischen Fundierung effizienter maschineller Lernmethoden, basierend auf Kernel-Methoden und Gaußschen Prozessen, zur numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen. Er adressiert die Beschränkungen konventioneller Ansätze, die besonders bei der Bearbeitung von hochdimensionalen und nichtlinearen Problemen evident werden, sowie die Herausforderungen des Deep Learning, die vor allem in der mangelnden mathematischen Fundierung und der Intransparenz begründet liegen. Ein zentraler Fokus liegt auf der Entwicklung von Methoden basierend auf Kernel- und Gaußschen Prozessen zur numerischen Lösung von mengenwertigen und singulären partiellen Differentialgleichungen. Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Erforschung von Abbildungsmethoden zur Transformation nichtlinearer partieller Differentialgleichungen in lineare, ähnlich der Cole-Hopf-Transformation. Die methodische Herangehensweise beinhaltet die theoretische Ableitung von Konvergenzgarantien und Konvergenzraten, die Validierung der entwickelten Algorithmen durch numerische Experimente und Vergleichsanalysen mit bestehenden Methoden. Die Innovation und die Bedeutung des Einsatzes maschinellen Lernens in mathematischen Rahmenwerken zur Lösung komplexer partieller Differentialgleichungen werden besonders hervorgehoben.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Dr. Houman Owhadi; Professor Dr. Andrew Stuart