Rekursive Methoden in der Theorie der kompakten Quantengruppen

• Antragsteller: Dr. Alexander Mang
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 549208639

Ziel des Vorhabens ist die Entwicklung und Anwendung rekursiver Methoden in der Theorie der kompakten Quantengruppen. Genauer werden Ziele auf zwei Ebenen verfolgt. Auf der Objektebene sollen Fragen über die Quantisierungen der allgemeinen und speziellen unitären Gruppen geklärt werden. Allgemein entstehen kompakte Quantengruppen auf hauptsächlich zwei Weisen aus kompakten Gruppen, durch Deformation, insb. q-Deformation nach Drinfeld und Jimbo, oder durch Liberation, insb. so genannte easy Liberation nach Banica und Speicher. Bei den q-Deformationen der allgemeinen und speziellen unitären Gruppen nahm die Theorie kompakter Quantengruppen in den 80er Jahren ihren Ursprung und diese sind heute gut verstanden. Im Gegensatz dazu ist über die drei Familien von easy Liberationen der unitären Gruppe, größtenteils 2017 von Weber und mir entdeckt, außer einer Darstellung ihrer Funktionsalgebren durch Erzeuger und Relationen praktisch nichts bekannt. Für Liberationen der speziellen unitären Gruppe sind bislang nicht einmal Definitionen vorgeschlagen werden. Und nur in einem Einzelfall ist es bisher gelungen, Deformation und Liberation miteinander zu kombinieren. Ziel des Projekts auf der Objektebene ist all dies zu ändern. Um die Ziele auf der Objektebene zu erreichen sollen rekursive Methoden zum Einsatz kommen, die im Prinzip auf alle Algebren angewendet werden können, insb. Gröbner-Basen und Anick-Auflösungen. Die Idee ist aber, dass dies auf der Metaebene zugleich als Inspiration und Prüfstein für die Entwicklung neuer rekursiver Methoden dienen soll, die speziell auf die Funktionsalgebren von Quantengruppen gemünzt sind. Die einander ergänzenden Ziele auf Objekt- und Metaebene lauten zusammengefasst: 1. Objektebene: Beschreibung der Darstellungstheorie der kompakten Quantengruppen, die durch easy Liberation der unitären Gruppe entstehen, insb. Bestimmung von irreduziblen Darstellungen, deren Matrixelementen, Vielfachheiten und ggf. Clebsch-Gordan-Koeffizienten. Metaebene: Entwicklung einer speziellen Theorie von Gröbner-Basen für Funktionsalgebren kompakter Quantengruppen, insb. eines Diamantenlemmas mit möglichst vielen notwendigen Bedingungen an Gröbner-Basen und möglichst wenigen Mehrdeutigkeiten, die noch aufzulösen sind, sowie Schlussfolgerungen daraus für die Darstellungstheorie. 2. Objektebene: Berechnung von homologischen Invarianten der easy Liberationen der unitären Gruppe, insb. Hochschild-, Bialgebra- und ggf. L2-Kohomologie. Metaebene: Entwicklung einer speziellen Theorie projektiver Auflösungen der Koeinsen von Funktionenalgebren kompakter Quantengruppen auf Basis der Anickauflösung, aber näher an minimal und mit besseren Konvergenzeigenschaften. 3. Objektebene: Konstruktion von simultan q-deformierten und liberierten Quantisierungen der allgemeinen und speziellen unitären Gruppen. Metaebene: Entwicklung einer speziellen Eliminierungstheorie für Subalgebren von Koprodukten von Funktionsalgebren kompakter Matrixquantengruppen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen