Zerlegungen quasi-transitiver Graphen

• Antragsteller: Dr. Matthias Hamann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 549406527

In diesem Projekt möchten wir quasi-transitive lokal-endliche Graphen in Teile zerlegen, die eine einfachere Struktur haben. Genauer möchten wir ein Zerlegungsresultat für Graphen erhalten, die ein-endig, quasi-transitiv und lokal-endlich sind und weitere Voraussetzungen erfüllen, wobei die Zerlegung über zwei-endigen quasi-transitive Graphen stattfindet, und wir sind auch an weiteren Ergebnissen in diesem Umfeld interessiert. Die zwei-endigen quasi-transitive lokal-endlichen Graphen bilden eine gut verstandene Unterklasse der quasi-transitive lokal-endlichen Graphen, die sicherlich mit zu den einfachsten Unterklassen gehört. Wir zielen auf Baumzerlegungen über solchen Graphen oder (von einem anderen Standpunkt aus) kanonischen Baumzerlegungen mit solchen Graphen als Adhäsionsmengen ab. Natürlich können wir nach einer Zerlegung die Faktoren erneut zerlegen, sofern sie die Voraussetzungen erfüllen, und dies können wir immer weiter fortsetzen. Wenn wir mit Faktoren enden, die alle nicht mehr zerlegbar sind, so sprechen wir von der Erreichbarkeit, ansonsten von der Unerreichbarkeit des Ausgangsgraphen. In Analogie zu Graphen von Gruppen werden wir Graphen von Graphen definieren, deren Verhalten in Bezug auf Erreichbarkeit diskutieren und einen Struktursatz beweisen, der dem Fundamentalsatz der Bass-Serre-Theory entspricht und uns erlaubt, den ursprünglichen Graphen von den Informationen des Graphen von Graphen zurück zu erhalten. Dieses Projekt bettet sich in ein wesentlich größeres Programm ein, das darauf abzielt, quasi-transitive lokal-endliche Graphen bis auf Quasi-Isometrie zu verstehen, ähnlich zu Gromovs Programm, endlich erzeugte Gruppen bis auf Quasi-Isometrien zu klassifizieren. Dabei ist es wichtig herauszustellen, dass quasi-transitive lokal-endliche Graphen viel größere Vielfalt bezüglich Quasi-Isometrien haben als endlich erzeugte Gruppen: dies folgt aus einer Antwort auf eine Frage von Woess, welche aufzeigte, dass es quasi-transitive lokal-endliche Graphen gibt, die zu keiner endlich erzeugten Gruppe quasi-isometrisch sind. Des Weiteren möchten wir uns die Situation in Digraphen ansehen und dort sowohl die Enden von Digraphen strukturell besser verstehen als auch eine kanonische Zerlegung erhalten, die die Enden von Digraphen unterscheidet. Wir werden uns auch ansehen, was eine solche Zerlegung von Digraphen für Halbgruppen impliziert.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen