Renormalized Solutions in der Optimalsteuerung von Evolutionsgleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Hannes Meinlschmidt
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 551486487

In diesem Forschungsprojekt geht es um die Erweiterung der klassischen und bekannte Optimalsteuerungstheorie für Evolutionsgleichungen, also, zeitabhängige partielle Differentialgleichungen, auf solche Probleme, in denen die gegebenen Daten so irregulär sind, dass die gängigen schwachen Lösungsbegriffe keine zufriedenstellende Theorie mehr ermöglichen. Das kann sowohl fehlende Eindeutigkeit sein, als auch das Problem, dass ein geeigneter schwacher oder distributioneller Lösungsbegriff gar nicht mehr sinnvoll zu definieren ist. Für gewisse Problemklassen kann dann ein sogenannter renormalized Lösungsbegriff sinnvoll sein, der verlangt, dass nicht nur die schwache Lösung selbst, sondern auch alle nichtlinearen Modulationen gewisser Güte dieser, die partielle Differentialgleichung wenigstens im distributionellen Sinne löst. Damit lässt sich dann Eindeutigkeit zeigen, oder, falls das originale schwache Lösungskonzept gar nicht wohldefiniert war, ein geeigneter Lösungsbegriff definieren. Dieser ist dann aber inhärent nichtlinear und erfüllt nicht mehr die gängigen Formulierungen mittels Operatortheorie, wodurch die klassische Optimalsteuerungstheorie nicht mehr anwendbar ist. In diesem Forschungsvorhaben soll daher eben diese Optimalsteuerungstheorie mit anderen Methoden erarbeitet werden, und zwar am Beispiel von Fokker-Planck-Gleichungen mit sehr irregulärem Driftfeld, sowie an stark nichtlinearen parabolischen Gleichungen ohne Wachstumsannahmen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Österreich
• Kooperationspartner: Professor Dr. Karl Kunisch