Eingebettete isotherme Tori aus holomorphen Abbildungen

• Antragstellerin: Dr. Gudrun Szewieczek
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 552648860

Die umfangreiche integrable Klasse von Isothermflächen besteht unter anderem aus Minimal- und CMC-Flächen in Raumformen und spielt daher eine zentrale Rolle in der Differentialgeometrie. Abseits von Nabelpunkten sind sie durch die Existenz konformer Krümmungslinien charakterisiert. Der größte Teil der umfangreichen Literatur dreht sich um lokale Eigenschaften. Einige globale Beispiele haben jedoch zu bahnbrechenden Entdeckungen geführt: allen voran der berühmte CMC-Torus von Wente. Weiters haben erst kürzlich gefundene Tori den Grundstein für die Konstruktion kompakter Bonnet-Paare gelegt, und die Existenz von Minimal- und CMC-Lösungen für Rand- und Kapillarprobleme wurde bewiesen. Die zuvor genannten globalen Beispiele weisen alle eine Gemeinsamkeit auf, nämlich die Überdeckung durch eine Familie ebener oder sphärischer Krümmungslinien. Diese Eigenschaft ist prädestiniert für die Konstruktion globaler Isothermflächen: wie in [Cho-Pember-Szewieczek (2023)] bewiesen, bestehen solche Krümmungslinien aus Möbius-transformierten elastischen Kurven. Sie sind somit (quasi)-periodisch und die Isothermflächen bereits global in der sphärischen Koordinatenrichtung definiert. Eine allgemeine Beschreibung glatter Isothermflächen mit sphärischen Krümmungslinien ist ein offenes Problem. In diesem Projekt ist unser Ziel diese Lücke zu schließen und eine Konstruktion zu entwickeln, die globale Eigenschaften einfach kontrollierbar macht. Wir werden uns dabei am Konzept der Co-Faltung ("lifted-folding") orientieren, das wir kürzlich für diskrete Flächen entwickelt haben [Hoffmann-Szewieczek (2024)]. Die zugrundeliegende Idee ist, dass alle diese Isothermflächen durch eine holomorphe Abbildung mit kreisförmigen/geraden Faltachsen und einer Faltfunktion beschrieben werden können. Die Aufteilung der Daten erleichtert die Kontrolle globaler Eigenschaften: Periodizität und Einbettung der sphärischen Krümmungslinien werden bereits durch die Wahl der holomorphen Abbildung bestimmt. Ähnlich wie im diskreten Fall sollen Einschränkungen der Faltungsfunktionen zu topologischen Zylindern und Tori führen. Unter Verwendung des Konzepts der Co-Faltung gehen wir dann der Frage nach ob es eingebettete, nicht rotationssymmetrische isotherme Tori mit sphärischen Krümmungslinien gibt. Der derzeitige Wissensstand über allgemeine eingebettete isotherme Tori ist überraschend begrenzt. Im Gegenteil, diverse Arbeiten zeigen, dass eingebettete und (bis auf Möbius-Transformationen) nicht rotationssymmetrische isotherme Tori keine Minimal- oder CMC-Flächen in Raumformen sein können. Ausgangspunkt unserer Arbeit werden geeignete holomorphe Abbildungen aus geschlossenen elastischen Kurven ohne Selbstüberschneidungen sein. Eingebettete isotherme Tori entstehen dann mittels geeigneter Co-Faltung. Unser Forschungsvorhaben wird durch Vorarbeiten im diskreten Bereich untermauert. Numerische Beispiele deuten darauf hin, dass eingebettete Tori in dieser Klasse tatsächlich existieren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen