Segmentierung und Inpainting von Farbbildern mithilfe des Mumford-Shah- und des Mumford-Shah-Euler-Funktionals
Final Report Abstract
Ein Programm-Schwerpunkt ist die Numerik des Mumford-Shah-Funktionals für Einheitsvektorfelder - eine prototypische Problemstellung für nichtkonvexe Funktionale mit nichtkonvexer Nebenbedingung. Es werden zwei Finite-Elemente basierte Schaukeliterationen zur Minimierung vorgestellt, dessen Unbekannte die Chromatizität (d.h. das Einheitsvektorfeld) und eine die freien Unstetigkeitsstellen modellierende Phasenfunktion ist. Die erste iterative, sukzessiv energie-reduzierende Strategie erhält die Spärenbedingung an Knotenpunkten des zugrundeliegenden Gitters. Bedingt durch stark rückkoppelnde nichtlineare Effekte des Funtionals mit der Spärenbedingung sind diese Stabilitätseigenschaften nicht ausreichend, um Γ-Konvergenz dieser konsistenten, raum-diskreten Schaukeliteration für verschwindende Diskretisierungsparameter sicherzustellen. Aus diesem Grund wird mithilfe eines zusätzlichen Ginzburg-Landau-Funktionals zur Penalisierung der Sphärenbedingung eine entsprechende numerische Strategie vorgestellt, die etwa starke Lp-Konvergenz der Gradienten der Ghromatizitäts-Iterierten (bei konstantem Penalisierungsparameter) ermöglicht, sodaß Γ-Konvergenz des raum-diskreten, die Sphärenbedingung penalisierenden Schaukelverfahrens gegen das Ausgangsproblem mit Sphärenbedingung gezeigt werden kann; ausführliche numerische Teststudien relativieren diesen analytischen Vorteil der Penalisierungsstrategie allerdings etwas, da eine passende Balancierung von Penalisierungs- und Diskretisierungsparametern in aktuellen Situationen nicht immer offensichtlich ist. Zugeordnete Gradientenflüsse des Mumford-Shah (MS)- sowie des Mumford-Shah-Euler-(MSE)-Funktionals wurden untersucht. Auch hier ist eine vergleichende (analytische und numerische) Analyse konsistenter bzw. die Sphärenbedingung approximierender Problemstellungen des hier um einen Krümmungsterm bereicherten MSE-Funktionals zentral: schwache Lösungen des auf Penalisierung basierenden zugehörigen Evolutionsproblems können mithilfe konstruierten Algorithmus für verschwindende zeitliche und örtliche Diskretisierungsparameter erhalten werden: die hierbei nicht-triviale (gemischte Methoden verwendende) Diskretisierung verwendet Elemente der Arbeit von Q. Du & X. Wang (2007); eine restriktive Gitterbedingung ist hinreichend, um Lösbarkeit sicherzustellen. Zentral für die Konvergenz gegen das Penalisierung verwendende Limesproblem ist der Nachweis starker Lp-Konvergenz der Gradienten der Chromatizitäts-Iterierten zeigt. Alternativ wird eine raum-zeitliche Diskretisierungmit an Gitterpunkten erfüllter Sphärenbedingung in einem weiteren Algorithmus vorgestellt, die diskrete approximative Lagrange-Multiplikatoren verwendet: Lösbarkeit und ein diskretes Energieprinzip sind hier wesentliche, nicht-trivial zu erhaltende Eigenschaften des Algorithmus, während Konvergenz seiner Iterierten gegen den MSE-Fluß bei exakter Sphärenbedingung aufgrund der starken Nichtlinearitäten offenbleibt. Im Rahmen des Projekts wurden weiterhin ausgedehnte numerische Studien durchgeführt, die eine die Sphärenbedingung erhaltende Diskretisierung, insbesondere bei komplexen Dynamiken: während aufgrund markanter lokaler Verletzungen der Sphärenbedingung berechnete Chromatizitäts-Iterierter im Rahmen der Penalisierung erhebliche Zweifel an der beobachteten Dynamik aufwerfen, scheinen entsprechende konsistente Studien deutlich zuverlässiger.
Publications
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Numerical Analysis of the Mumford-Shah- and Mumford-Shah-Euler-Functionals for sphere-valued functions, and applications to numerical image processing, Dissertation, Universität Tübingen (2010)
J. Haehnle
