Diracoperatoren auf polygon- oder polyederartigen Gebieten

• Antragstellerin: Professorin Dr. Nadine Große
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 560457657

Dirac-Operatoren spielen z.B. bei der Beschreibung massiver relativistischer Teilchen mit Spin 1/2 und Graphen (die Kohlenstoffstruktur); aber auch bei geometrischen Fragen wie der Untersuchung von Mannigfaltigkeiten, die Metriken mit positiver Skalarkrümmung besitzen. Wie bei allen Differentialoperatoren treten in verschiedenen Anwendungen Randwertprobleme auf. Randwertprobleme für Dirac-Operatoren auf Gebieten mit glattem Rand werden seit längerer Zeit untersucht. Zwei Motivationen, diese zu untersuchen, kommen aus der Frage des quark confinements und von der geometrischen Seite aus dem Atiyah-Patodi-Singer-Index-Theorem. Dennoch sind Randwertprobleme erster Ordnung technisch aufwändiger als die für Operatoren zweiter Ordnung. Eine umfassende Behandlung von Randwertproblemen erster Ordnung für Operatoren vom Dirac-Typ aus funktionalanalytischer Perspektive wurde von Bär und Ballmann um 2010 herum gegeben. In diesem Projekt sollen Randwertprobleme für den Dirac-Operator auf singulären Gebieten untersucht werden - hauptsächlich mit dem Ziel der Behandlung von Polyedern. Warum? Erstens ist es bei numerischen Simulationen naheliegend, solche Gebiete zu betrachten, da diese als Teile des Mesh des Gebietes auftreten. Zweitens ist es insbesondere mathematisch interessant, da die verwendeten Methoden nicht nur Verallgemeinerungen der Methoden für glatte Ränder sind. Es gibt bereits mehrere Arbeiten für Polygone, Sektoren oder konvexe Kegel in 3D - hauptsächlich zu Fragen wie Selbstadjungiertheit und spektralen Eigenschaften und unter den 'beliebtesten' lokalen Randbedingungen. Das Ziel dieses Projektes ist es, diese Arbeiten auf allgemeinere singuläre Gebiete und mehr lokale Randbedingungen zu verallgemeinern und auch die Frage der Wohlgestelltheit zu untersuchten. Letztgenannte Frage ist relevant, um Regularitätsabschätzungen zu erhalten, die z.B. zum Beweis der Konvergenzrate numerischer Algorithmen verwendet werden können.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen