Diskrete Hardy Ungleichungen und verwandte Fragestellungen

• Antragsteller: Professor Dr. Matthias Keller; Professor Dr. Felix Pogorzelski
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 560796250

Hardy-Ungleichungen sind faszinierende mathematische Objekte, die auch in den Naturwissenschaften auf großes Interesse stoßen. Allem voran liefern sie eine quantitative Beschreibung der Heisenbergschen Unschärferelation. Darüber hinaus gibt es eine umfangreiche Literatur in einer Vielzahl von geometrischen und operatortheoretischen Zusammenhängen. Daher ist es auch nicht verwunderlich, dass sie in verschiedenen mathematischen Bereichen wie partielle Differentialgleichungen, geometrische Analysis, mathematische Physik, Operatortheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie vorkommen. Die erste Hardy-Ungleichung war diskreter Natur und geht auf die 1920er Jahre zurück, als Hardy Hilberts Ungleichung für Doppelsummen untersuchte. Zwei herausragende mathematische Eigenschaften dieser Ungleichung sind, dass die explizite Konstante scharf ist und außerdem kein Minimierer existiert. Als diese Ungleichung später im Kontinuum untersucht wurde, standen diese beiden Merkmale ebenfalls im Mittelpunkt des Interesses. In diesem Fall ist das Hardy-Gewicht meist ein Vielfaches des Kehrwerts des quadratischen Abstands zu einer abgeschlossenen Menge. Klassischerweise ist man angesichts der Abstandsfunktion daran interessiert, die beste Konstante zu bestimmen, so dass die Hardy-Ungleichung gilt. In einem neueren Ansatz, der auf eine Frage von Agmon zurückgeht, wird ein optimales Hardy-Gewicht bestimmt. Der Begriff der Optimalität beinhaltet sowohl die beste Konstante als auch die Nicht-Existenz eines Minimierers. Dieser Ansatz hat in den darauffolgenden Jahren viel Forschung inspiriert, da er viel allgemeinere Situationen als bisher ermöglicht, zum Beispiel Graphen. In diesem Projekt soll die bisherige Forschung zu Hardy-Ungleichungen auf Graphen fortgeführt werden. Das Projekt ist in drei Teile gegliedert: (A) Optimale Hardy-Gewichte im linearen Fall. (B) Hardy-Ungleichungen für quasilineare Operatoren. (C) Agmons Vermutung über asymptotische Formeln für den Wärmekern.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Israel
• Partnerorganisation: The Israel Science Foundation
• Kooperationspartner: Professor Yehuda Pinchover, Ph.D.