Langreichweitiges Wählermodell auf der reellen Zahlengeraden und verwandte Themen

• Antragsteller: Professor Dr. Achim Klenke
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 561077737

Dieses Projekt untersucht das langreichweitige-Wählermodell auf der reellen Zahlengeraden. Der Schwerpunkt liegt auf dem alpha-stabilen Wählermodell, das komplexere Verhaltensweisen zeigt als das Wählermodell mit Nächste-Nachbar-Wechselwirkung. Hauptziele sind das Verständnis der Eigenschaften des Interfaces und des Verhaltens des Supports, die Charakterisierung des Modells durch ein Martingalproblem sowie die Untersuchung von verschmelzenden alpha-stabilen Prozessen. Eigenschaften des Interfaces: Im alpha-stabilen Wählermodell ist das Interface (d. h. die Grenze zwischen verschiedenen „Meinungen“) komplexer als im Fall von Nächster-Nachbar-Wechselwirkung. Die obere Schranke für die Hausdorff-Dimension des Interfaces wurde bereits bestimmt, aber ob diese Schranke scharf ist und wie eine untere Schranke aussieht, ist noch offen. Ziel des Projekts ist es, diese Fragen zu klären und zu klären, ob es isolierte Interface-Punkte gibt, die möglicherweise zu zufälligen Zeitpunkten auftreten. Eigenschaften des Trägers: Frühere Arbeiten haben gezeigt, dass der Support im alpha-stabilen Modell mit anfangs beschränktem Träger für Meinung 1 zu festen Zeiten ebenfalls beschränkt bleibt. Ob es jedoch besondere Zeitpunkte gibt, an denen dieser Träger unbegrenzt wird, ist unbekannt. Wir vermuten, dass solche Zeitpunkte existieren, und haben eine präzise Vermutung für deren Hausdorff-Dimension formuliert. Das Projekt soll diese Vermutungen überprüfen, um das Verständnis des zeitlichen Verhaltens des Trägers zu vertiefen. Charakterisierung durch ein Martingalproblem: Das alpha-stabile Wählermodell wird derzeit hauptsächlich durch Dualität beschrieben. Ziel des Projekts ist es, eine Charakterisierung des Modells durch ein Martingalproblem zu entwickeln. Erfolg auf diesem Gebiet könnte Einblicke in die Lebensdauer von Kolonien sowie in verwandte Modelle wie symbiotische Verzweigungsprozesse bieten. Verschmelzende alpha-stabile Prozesse: Als duales Modell zum alpha-stabilen Wählermodell zeigen verschmelzende alpha-stabile Prozesse die Eigenschaft des „coming down from infinity“. Ein Ziel des Projekts ist es, die Rate dieses Prozesses zu bestimmen. Außerdem planen wir, eine raum-zeitliche Dualität für das -stabile Wählermodell zu konstruieren, ähnlich der Dualität des Brown’schen Netzes im Fall von Nachbarschaftsinteraktionen. Diese Dualität könnte zu einem tieferen Verständnis sowohl des alpha-stabilen Wählermodells als auch seines Duals führen. Insgesamt zielt diese Forschung darauf ab, bedeutende Fragen zu langreichweitigen Wählermodellen zu adressieren, die wesentlich komplexer sind als Modelle mit Nächste-Nachbar-Wechselwirkungen. Durch Fortschritte bei den genannten Problemen soll das Projekt grundlegende offene Fragen zu interagierenden Populationsmodellen im kontinuierlichen Raum und zum Verhalten verschmelzender Prozesse klären und so einen Beitrag zur aktuellen Forschung in der Wahrscheinlichkeitstheorie leisten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Israel
• Partnerorganisation: The Israel Science Foundation
• Kooperationspartner: Professor Leonid Mytnik, Ph.D.