Geometrie und Dynamik unendlich-dimensionaler Gruppen

• Antragsteller: Professor Dr. Friedrich Martin Schneider
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 561178190

In den zurückliegenden drei Dekaden haben topologische Gruppen von Transformationen großer homogener Strukturen beträchtliche Aufmerksamkeit erfahren und dabei unzählige faszinierende Verbindungen zur Operatoralgebra, Geometrie, Ergodentheorie, Modelltheorie, und deskriptiven Mengenlehre gezeigt. Ein Hauptaugenmerk des Studiums solcher unendlich-dimensionalen Gruppen liegt darauf, Beziehungen zwischen dynamischen Phänomenen in einer Gruppe und strukturellen Eigenschaften jener Objekte, auf denen diese operiert, zu verstehen. Ein wegweisendes Resultat in dieser Richtung bildet die Kechris-Pestov-Todorcevic-Korrespondenz, die eine enge Verbindung zwischen der Ramsey-Theorie modelltheoretischer Strukturen und der topologischen Dynamik ihrer Automorphismengruppen offenbart. Jenseits solcher nicht-archimedischen Gruppen gibt es eine noch größere Vielfalt dynamischer Besonderheiten, und die Entwicklung einer nützlichen Theorie setzt ein tiefes Verständnis natürlicher Beispiele voraus. Das beantragte Forschungsprojekt soll hierzu einen starken Beitrag leisten: Ziel ist die Weiterentwicklung der Theorie unendlich-dimensionaler Gruppen und ihrer Dynamik mithilfe neuer geometrischer, algebraischer und funktionalanalytischer Methoden. Das Vorhaben soll von der Untersuchung zweier konkreter Klassen topologischer Gruppen geleitet sein, und zwar der Einheitengruppen von-Neumann-kontinuierlicher Ringe auf der einen, und der topologischen Gruppen messbarer Abbildungen und ihrer Verallgemeinerungen über Submaßen auf der anderen Seite. Im Fokus stehen spannende Fragen zu diesen Objekten, den Verbindungen zwischen ihnen, und Analogien zu anderen unendlich-dimensionalen Gruppen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen